Chủ đề này có 2 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho số tự nhiên n > 1. Chứng minh rằng $4^{n}+n^{4}$ là hợp số

[Mikhail Leptchinski]

Cho số tự nhiên n > 1. Chứng minh rằng $4^{n}+n^{4}$ là hợp số

Gỉa sử $4^n+n^4$ là số nguyên tố =>$n=2m+1$ (với $m$ là số tự nhiên)

$n^4+4^n=(n^2+2^n)^2-n^2.2^{n+1}=(n^2+2^n)^2-n^2.(2^{m+1})^2=(n^2+2^n-n.2^{m+1})(n^2+2^n+n.2^{m+1})$

Từ đó chứng minh $(n^2+2^n-n.2^{m+1})>1$ suy ra $n=1$ => vô lí vì giả thiết $n>1$ nên điều giả sử là sai 

Do đó :$4^n+n^4$ là hợp số với mọi số tự nhiên $n>1$

 

Hoặc nếu bạn không muốn giả sử thì bạn xét với $n$ chẵn thì $4^n+n^4$ là hợp số luôn từ đó xét trường hợp $n$ lẻ .Mình làm như trên vì bài toán còn một bài nữa là 

Tìm số tự nhiên $n$ để $4^n+n^4$ là số nguyên tố khái quát cả 2 bài !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 02-12-2014 - 23:41

[congtuholi]

$A = n^{4} + 4^{n}$

Xét 2 trường hợp

* $n > 1$  và $n$ chẵn

Đặt $n=2k$  ,  bài toán viết thành:

$A = \left ( 2k \right )^{4} + 4^{2k}$   $\vdots 2$

Vì $A > 2 , A \vdots 2$ nên A là hợp số

* $n > 1$  và n lẽ

Đặt  $n=2k+1$  $\left ( k > 0 \right )$,  bài toán viết thành:

$A = n^{4} + 4^{2k+1}$

$A= n^{4} + 4^{2k}.4$

$A= n^{4} + \left ( 2.4^{k} \right )^{2}$

$A= \left ( n^{2} + 2.4^{k}\right )^{2} - \left ( 2.n.2^{k} \right )^{2}$

$A= \left ( n^{2} + 2.4^{k}-2.n.2^{k}\right ).\left ( n^{2} +2.4^{k} + 2.n.2^{k}\right )$

$A= \left ( n^{2} + 2^{2k+1} -n.2^{2k+1}\right ).\left ( n^{2} +2^{2k+1} +n.2^{2k+1}\right )$

$A= \left [ \left ( n-2^{k} \right )^{2k} +2^{2k}\right ].\left [ \left ( n+2^{k} \right )^{2} +2^{2k}\right ]$

Vì mỗi thừa số trên đều không bé hơn 2 nên suy ra A là hợp số

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congtuholi: 02-12-2014 - 23:46