Đến nội dung

Hình ảnh

$P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}...$

tgtnn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
zack

zack

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

cho a,b,c là các số dương thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq \frac{1}{3}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của

 

 

$P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\sqrt{a^4+\frac{1}{9b^2}}+\sqrt{b^4+\frac{1}{9c^2}}+\sqrt{c^4+\frac{1}{9a^2}}$



#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

cho a,b,c là các số dương thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq \frac{1}{3}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của

 

 

$P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\sqrt{a^4+\frac{1}{9b^2}}+\sqrt{b^4+\frac{1}{9c^2}}+\sqrt{c^4+\frac{1}{9a^2}}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

         $\sum \frac{a^2}{b}=\sum \frac{a^4}{a^2b}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a.ab+b.bc+c.ca}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}}\geqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

Áp dụng Mincopski ta có

         $\sum \sqrt{a^4+\frac{1}{9b^2}}\geqslant \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2+\frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}\geqslant \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2+\frac{3}{a^2+b^2+c^2}}$

Do sử dụng AM-GM $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\geqslant (\frac{3}{\sqrt[3]{abc}})^2=\frac{9}{\sqrt[3]{a^2.b^2.c^2}}\geqslant \frac{27}{a^2+b^2+c^2}$

Đặt $t=a^2+b^2+c^2$, khi đó             

      $P\geqslant f(t)=\sqrt{3t}+\sqrt{t^2+\frac{3}{t}}, 0<t\leqslant \frac{1}{3}$

Đến đây khảo sát hàm số


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh