Chủ đề này có 8 trả lời

[thuylinh_909]

Cho $f:[0;1]\rightarrow [0;1]$ là hàm liên tục 

Chứng minh rằng dãy $x_{n+1}=f(x_{n})$ hội tụ khi và chỉ khi $\lim_{x\rightarrow\infty }(x_{n+1}-x_{n})=0$

[baocatbatu]

Ý kiến cá nhân :

$\Rightarrow$ Giả sử dãy $\left \{ x_{n} \right \}$ hội tụ với $lim{x_n}=a$ $\Rightarrow$ $\lim( x_{n+1}-x_n)=\lim( x_{n+1})-lim(x_n)=a-a=0$

 

$\Leftarrow$ Giả sử $\lim(x_{n+1}-x_n)=0$ $\Rightarrow$ tồn tại $n_o$ sao cho $\forall$ $\epsilon$ ; $\forall$ $n \geq n_o$ : $\left | x_{n+1}-x_n \right |< \epsilon$ $\Rightarrow$ $\left | x_{n+p}-x_n \right |$ $\leq$ $\left | x_{n+p}-x_{n+p-1} \right |$+...+$|x_{n+1}-x_n|$  $\leq$ $\epsilon$ +...+$\epsilon$ $\rightarrow 0$ 

Như vậy theo nguyên lý Cauchy, dãy này là dãy số thực nên nó hội tụ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baocatbatu: 12-12-2014 - 22:15

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Rất tiếc lời giải là sai.

Từ lời giải trên có thể nhận thấy tác giả không sử dụng giả thiết $f\left ( x_n \right ) = x_{n+1}$ mà đang chứng minh khẳng định:

$\lim \left ( x_{n+1}-x_n \right )=0$ thì dãy $(x_n)$ hội tụ.

Rất tiếc khẳng định này là sai.

Lấy phản ví dụ chuỗi điều hòa: $x_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$.

Ta có $x_{n+1}-x_n=\frac{1}{n+1}\xrightarrow[]{n \to \infty} 0$ nhưng rõ ràng $(x_n)$ phân kỳ.

[baocatbatu]

Xin lỗi nhưng ví dụ bạn đưa ra không ổn rồi, ở đây là trên đoạn [0,1] mới chứng minh được khẳng định trên.

Sử dụng giả thiết ở chỗ $x_n = f(x_{n-1})$  nên dãy này thuộc đoạn [0,1]

Còn chuỗi trên là phân kỳ rồi, không thuộc đoạn [0,1].

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baocatbatu: 12-12-2014 - 22:19

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Ý kiến cá nhân :

$\Rightarrow$ Giả sử dãy $\left \{ x_{n} \right \}$ hội tụ với $lim{x_n}=a$ $\Rightarrow$ $\lim( x_{n+1}-x_n)=\lim( x_{n+1})-lim(x_n)=a-a=0$

 

$\Leftarrow$ Giả sử $\lim(x_{n+1}-x_n)=0$ $\Rightarrow$ tồn tại $n_o$ sao cho $\forall$ $\epsilon$ ; $\forall$ $n \geq n_o$ : $\left | x_{n+1}-x_n \right |< \epsilon$ $\Rightarrow$ $\left | x_{n+p}-x_n \right |$ $\leq$ $\left | x_{n+p}-x_{n+p-1} \right |$+...+$|x_{n+1}-x_n|$  $\leq$ $\epsilon$ +...+$\epsilon$ $\rightarrow 0$ 

Như vậy theo nguyên lý Cauchy, dãy này là dãy số thực nên nó hội tụ.

Chỗ này không ổn.
Hơn nữa anh có thể viết rõ chỗ sử dụng giả thiết được không.

Mong một bài giải thực sự hoàn chỉnh.

[baocatbatu]

À ừ, chỗ đấy cũng không cần cho đến 0 đâu em.

Dừng ở chỗ $\epsilon + \epsilon + ... + \epsilon = \epsilon' $ là được rồi.Thế cũng đủ để áp dụng nguyên lý Cauchy rồi.

 

Còn chỗ sử dụng giả thiết là hàm f liên tục và $x_n = f(x_{n-1}$ nên cả dãy này sẽ thuộc vào [0,1].

Như vậy hiệu của hai phần tử bất kỳ của dãy sẽ rất nhỏ và thuộc vào đoạn [0,1], điều này đảm bảo cho $\epsilon$ rất nhỏ. 

[Nxb]

Ý kiến cá nhân :

$\Rightarrow$ Giả sử dãy $\left \{ x_{n} \right \}$ hội tụ với $lim{x_n}=a$ $\Rightarrow$ $\lim( x_{n+1}-x_n)=\lim( x_{n+1})-lim(x_n)=a-a=0$

 

$\Leftarrow$ Giả sử $\lim(x_{n+1}-x_n)=0$ $\Rightarrow$ tồn tại $n_o$ sao cho $\forall$ $\epsilon$ ; $\forall$ $n \geq n_o$ : $\left | x_{n+1}-x_n \right |< \epsilon$ $\Rightarrow$ $\left | x_{n+p}-x_n \right |$ $\leq$ $\left | x_{n+p}-x_{n+p-1} \right |$+...+$|x_{n+1}-x_n|$  $\leq$ $\epsilon$ +...+$\epsilon$ $\rightarrow 0$ 

Như vậy theo nguyên lý Cauchy, dãy này là dãy số thực nên nó hội tụ.

Lời giải này sai vì theo nguyên lý Cauchy thì với mọi p ta có bất đẳng thức cuối. Nhưng $\epsilon$ ở cuối kia phụ thuộc vào p.

[baocatbatu]

Ừ sai thật. Ai có lời giải không ? Cho mình tham khảo với, he he

[baocatbatu]

Bạn Thùy Linh lấy đề bài ở đâu đấy, cho mình xin tên ?