Chủ đề này có 2 trả lời

[MLTSM]

cho tam giác ABC và đường thẳng d chia tam giác thành 2 phần có diện tích và chu vi bằng nhau. Chứng minh d luôn đi qua một điểm cố định

[Phung Quang Minh]

-Gọi đường thẳng d cắt AC tại E; cắt BC tại F.
-Giả sử S(AEFB)=S(FEC) và P(AEFB)=P(FEC).
=> S(AEFB)=S(FEC) (1) và AE+AB+BF=CE+CF.
-Gọi O là giao của 3 đường phản giác trong của tam giác; ra là khoảng cách từ O đến cạnh tam giác ABC.
-Ta có: AE+AB+BF=CE+CF.
=> r.(AE+AB+BF)/2 =r.(CE+CF)/2.
=> S(AEO)+S(AOB)+S(BOF)= S(COF)+S(COE). (2)
-Nếu O không thuộc các cạnh tứ giác AEFB:
+Lấy vế trừ vế của (1) -(2), khi đó ta có: -S(FOE)= S(FOE) (Loại).
-Nếu O thuộc tứ giác AEFB nhưng không thuộc FE:
+Lấy vế trừ vế của (1)-(2), khi đó ta có: S(FOE)= -S(FOE) (Loại).
-Từ 2 điều trên => O thuộc FE.
Vậy đường thẳng d đi qua điểm cố định là giao 3 đường phân giác trong của tam giác ABC.

[Phuong Hoa 23]

Gọi D, E lần lượt là giao điểm của d với AB, AC. Giả sử D trên AB, E trên AC
Kẻ phân giác góc A, cắt DE tại O
Kẻ OH, OI, OK lần lượt vuông góc với AB, AC, BC =>  OH=OI

Ta có: P(ADE)= P(BDEC)
\Rightarrow  AD+AE=BD+BC+CE => BC= AD+AE - BD - EC

Ta lại có: S(ADE) = S(BDEC)
<=> 2S(ADO) + 2S(AEO) = 2S(BDO) + 2S(BOC) + 2S(CEO) (nhân cả 2 vế với 2)

<=> OH.AD + OI.AE = OH.BD + OK.BC + OI.EC
<=> OH.(AD+AE)= OH.(BD+EC) +OK.BC

<=> OK.BC= OH.(AD+AE-BD-EC)= OH.BC 
<=> OK = OH hay OK=OH=OI
=> O là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác ABC
Vậy d luôn đi qua mọt điểm cổ định là O là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác ABC

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Hoa 23: 05-12-2014 - 12:14