Chủ đề này có 2 trả lời

[nmtuan2001]

Cho $x,y,z \geq 0, xy+yz+zx=4$. CMR: $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\geq \frac{5}{4}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 05-12-2014 - 11:32

[dogsteven]

$$\sum \frac{4}{y+z} \ge 5 \Leftrightarrow 4\sum (x+y)(z+x) \ge 5(x+y)(y+z)(z+x) \Leftrightarrow 4p^2-20p+5r+16\ge 0$$

Nếu $p\ge 4$ thì $4p^2-20p+5r+16 \ge 4p^2-20p+16=(p-1)(p-4) \ge 0$

Nếu $2\sqrt{3}\le p \le 4$ thì áp dụng bất đẳng thức Schur bậc 3:

$$4p^2-20p+5r+16 \ge 4p^2-20p+\frac{5}{9}p(16-p^2)+16 = \frac{(4-p)(5p^2-16p+36)}{9}\ge 0$$

Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(x,y,z)\sim(2,2,0)$

[CandyPanda]

Cách khác:

$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x})^{2}=(\frac{1}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}+\frac{1}{(z+x)^{2}})+2(\frac{1}{(x+y)(y+z)}+\frac{1}{(y+z)(z+x)}+\frac{1}{(z+x)(x+y)}$

Ta có: $\frac{1}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}+\frac{1}{(z+x)^{2}}\geq \frac{9}{4(xy+yz+zx)}= \frac{9}{16}$ (Bất đẳng thức Iran 96)

Và: $2(\frac{1}{(x+y)(y+z)}+\frac{1}{(y+z)(z+x)}+\frac{1}{(z+x)(x+y)})=4\frac{x+y+z}{(x+y)(y+z)(z+x)}=\frac{(xy+yz+zx)(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}=1+\frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq 1$