Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

min $\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Nguyentiendung9372

Nguyentiendung9372

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:Bóng đá và Toán

Đã gửi 05-12-2014 - 12:34

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx = 1$

Tìm GTNN của $\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)$



#2 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 05-12-2014 - 13:54

Đặt:

$$(a,b,c)=(x-y,y-z,z-x)\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2$$

$$a^2+b^2+c^2 \geqslant 3\sqrt[3]{(abc)^2} \Leftrightarrow |abc|\leqslant \frac{2\sqrt{6}}{9}$$

$$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x) \geqslant -\frac{2\sqrt{6}}{9}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x-y=y-z=x-z=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ hoặc ... lười liệt kê


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3 Nguyentiendung9372

Nguyentiendung9372

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:Bóng đá và Toán

Đã gửi 06-12-2014 - 13:24

Đặt:

$$(a,b,c)=(x-y,y-z,z-x)\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2$$

$$a^2+b^2+c^2 \geqslant 3\sqrt[3]{(abc)^2} \Leftrightarrow |abc|\leqslant \frac{2\sqrt{6}}{9}$$

$$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x) \geqslant -\frac{2\sqrt{6}}{9}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x-y=y-z=x-z=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ hoặc ... lười liệt kê

Tìm cụ thể dấu bằng đi :))



#4 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 10-12-2014 - 15:33

Chết, không đảm bảo dấu bằng.

Giả sử $x=\text{min}\{x,y,z\}$, đặt $a=x-y,b=y-z$

Khi đó ta viết lại bài toán:

Cho các số thực không âm $a,b$ thỏa mãn $a^2-ba+b^2-1=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất:

$$P=ab(b-a)$$

Giải:

$$\Delta = 4-3b^2 \geqslant 0 \Leftrightarrow |b|\leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

$$a=\dfrac{b\pm \sqrt{4-3b^2}}{2}$$

Thay trực tiếp và đạo hàm chắc sẽ ra.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#5 mathbg

mathbg

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-12-2014 - 22:53

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx = 1$

Tìm GTNN của $\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)$

Đặt $a=x-y, b=y-z, c=z-x$. Bài toán trở thành:

Cho $a,b,c$ là các số thoả mãn $a+b+c=0, a^2+b^2+c^2=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $abc$.

Giả sử $c=\max\{a,b,c\}$, suy ra $0\le c\le \sqrt2$.

Từ đk1, $a+b=-c$. suy ra $a^2+b^2+2ab=c^2$. Do đó $ab=c^2-1$.

Ta được $abc=(c^2-1)c=c^3-c=f ( c )$.

$f'( c )=3c^2-1=0$ khi và chỉ khi $c=\dfrac{1}{\sqrt3}$ (vì $0\le c\le \sqrt2$ ).

$\min f( c )=f(\frac{1}{\sqrt3})=-\dfrac{2}{3\sqrt 3}$, đạt được tại $c=b=\dfrac{1}{\sqrt 3}, a=-\dfrac{2\sqrt 3}{3}$ và các hoán vị.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh