Chủ đề này có 3 trả lời

[binhnhaukhong]

1.Cho 4 số thực $x, y, z,t\geq 1.$ Tìm GTNN của biểu thức:

          $A=(xyzt+1)(\frac{1}{x^4+1}+\frac{1}{y^4+1}+\frac{1}{z^4+1}+\frac{1}{t^4+1}).$

2.Cho 3 số dương $x, y, z$ thỏa mãn: $x+3y+5y\leq 3.$ Chứng minh rằng:

$3xy\sqrt{625z^4+4}+15yz\sqrt{x^4+4}+5zx\sqrt{81y^4+4}\geq 45\sqrt{5}xyz.$

[nguyenhongsonk612]

 

 

2.Cho 3 số dương $x, y, z$ thỏa mãn: $x+3y+5y\leq 3.$ Chứng minh rằng:

$3xy\sqrt{625z^4+4}+15yz\sqrt{x^4+4}+5zx\sqrt{81y^4+4}\geq 45\sqrt{5}xyz.$

 

Tớ nghĩ đề bài phải là $x+3y+5z=3$ đúng không cậu. Nếu là như thế tớ sẽ làm như sau

Lời giải 

Đặt $a=x;b=3y;c=5z$ $\Rightarrow a+b+c=3$

Khi đó BĐT cần C/m tương đương với $\sum _{cyc}ab\sqrt{c^4+4}\geq 3\sqrt{5}abc$

Áp dụng BĐT Mincopxki ta có

$\sum _{cyc}ab\sqrt{c^4+4}=\sum _{cyc}\sqrt{a^2b^2c^4+4a^2b^2}\geq \sqrt{\begin{pmatrix} \sum abc^2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \sum 2ab \end{pmatrix}^2}=\sqrt{\begin{bmatrix} abc(a+b+c) \end{bmatrix}^2+4\begin{bmatrix} ab+bc+ca \end{bmatrix}^2}\geq \sqrt{\begin{bmatrix} abc(a+b+c) \end{bmatrix}^2+4\begin{bmatrix} abc(a+b+c) \end{bmatrix}^2}=3\sqrt{5}abc$ (Đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$$\Leftrightarrow x=3y=5z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 06-12-2014 - 02:33

[I Am Gifted So Are You]

 Câu 1 bạn chỉ cần dùng bổ đề tổng quát

$$ \frac{1}{x_{1}^{n}+1}+\frac{1}{x_{2}^{n}}+...+\frac{1}{x_{n}^{n}+1}\geq \frac{1}{x_{1}x_{2}...x_{n}+1} $$ với $x_{i}\geq 1 (i=1,2,...,n)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Am Gifted So Are You: 06-12-2014 - 13:00

[binhnhaukhong]

 Câu 1 bạn chỉ cần dùng bổ đề tổng quát

$$ \frac{1}{x_{1}^{n}+1}+\frac{1}{x_{2}^{n}}+...+\frac{1}{x_{n}^{n}+1}\geq \frac{1}{x_{1}x_{2}...x_{n}+1} $$ với $x_{i}\geq 1 (i=1,2,...,n)$

Trên tử là n bạn nhé!