Mọi người thân mến, để chuẩn bị thật tốt cho kì thi VMO 2015, tôi xin khai hoả trước bằng một đề thi. Để tránh topic bị loãng, mỗi tuần chúng ta chỉ giải 3 đề, nếu xong thì mới đến đề kế tiếp. Mọi người cứ sáng tác đề và đưa lên đây để anh em cùng làm nhé! Chúc một mùa thi thắng lợi.
ĐỀ SỐ 1
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. Giải hệ phương trình $ \[\left\{ \begin{align}
& \left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)\left( {{y}^{2}}+yz+{{z}^{2}} \right)\left( {{z}^{2}}+zx+{{x}^{2}} \right)=xyz \\
& \left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}} \right)\left( {{y}^{4}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{4}} \right)\left( {{z}^{4}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}}+{{z}^{4}} \right)={{x}^{3}}{{y}^{3}}{{z}^{3}} \\
\end{align} \right.\]$
Bài 2. Cho dãy số ${{a}_{n}}=n+a\sqrt{{{n}^{2}}+1}$ với $a$ là tham số thực.
a) Tìm $a$ để $\left( {{a}_{n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn.
b) Tìm $a$ để $\left( {{a}_{n}} \right)$ là dãy tăng.
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $\left( I \right).$ Gọi $D,E$ là tiếp điểm của đường tròn $\left( I \right)$ với $BC,AC.$ Trên tia đối tia $CB$ lấy $X.$ Biết rằng hai đường tròn nội tiếp tam giác $ABX$ và $ACY$ cắt nhau tại hai điểm $P,Q.$ Chứng minh rằng:
a) Các đường thẳng $DE$ phân giác trong góc $ABC$ và đường trung bình tam giác $ABC$ đồng qui.
b) Đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $X$ đi động trên tia đối tia $CB.$
Bài 4. Cho $n$ là một số nguyên dương. Xét bảng ô vuông có kích thước $n\times n.$ Hỏi bảng đã cho có bao nhiêu hình vuông?
@ Đề nghị chỉnh Latex lại, với lại không nên đặt tên trùng với 1 topic đã có sẵn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 06-12-2014 - 19:13
