Chủ đề này có 1 trả lời

[tahuudangvl]

Cho x,y,z khác 0 thỏa mãn hệ thức $x(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+y(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})+z(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=-2$ và $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1$

Tính M=$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

[hoangdang]

Từ giả thiết ta có: $\frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}= -2$. Cộng 3 vào 2 vế ta được $\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{z}=1$ $= >$ $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=1= > \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}$ (1) . Chuyển vế rồi phân tích ta được : $\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{(x+y+z)xyz}=0$ $= > x+y=0$ hoặc $y+z=0$ hoặc $z+x=0$. Lại có $x^3 + y^3 + z^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)^3$ nên $x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3$ hay $x+y+z=1$ (2)

Từ (1) và (2) $= >$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$