Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyễn Hoàng Yến]

Tìm $x$ để $A=x^{1975}+x^{1973}+1$ là số nguyên tố

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 09-12-2014 - 23:24

[Long Cold Ice]

Xét TH :

Với x=0 (loại)

X=1 (TM)

$x\geq 2$

=> $x^{1975}-x=x(x^{1974}-1)\vdots (x^3-1)\vdots (x^2+x+1)$

$x^{1973}-x^2=x^2(x^{1971}-1)\vdots (x^3-1)\vdots (x^2+x+1)$

$x^2+x+1\vdots (x^2+x+1)$

=> $x^{1975}+x^{1973}+1\vdots x^2+x+1$

mà $x^{1975}+x^{1973}+1\neq x^2+x+1$

=> Loại

Vậy chỉ có một nghiệm là x=1

[vipboycodon]

Với $x = 0$ thì A không là số nguyên tố nên $x \ge 1$.

Ta có: $A = x^{1975}+x^{1973}+1$

= $x^{1973}(x^2+x+1)-[(x^3)^{658}-1]$

= $x^{1973}(x^2+x+1)-{(x-1)(x^2+x+1)[(x^3)^{657}+...+x^3+1]}$

= $(x^2+x+1)${$x^{1973}-(x-1)[(x^3)^{657}+...+x^3+1]$}

Vì $x \in N$ và $x \ge 1$ nên $x^2+x+1 \ge 3$

Do đó để A là số nguyên tố thì $x^{1975}+x^{1973}+1 = x^2+x+1 \rightarrow x = 1$

Với $x = 1$ thì $A = 3$ là số nguyên tố

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vipboycodon: 08-12-2014 - 20:55

[Minato]

Với x=0 => loại

Với x=1 => thỏa mãn

Với x>1

Ta có x³  chia x² + x + 1 dư 1

thì: x¹⁹⁷⁵ chia x² + x + 1 dư x

      x¹⁹⁷³ chia x² + x +1 dư x²

=>A chia x² + x +1 dư x² + x +1

=> A chia hết cho x² + x +1

=> Loại

Vậy x=1