Tìm $x$ để $A=x^{1975}+x^{1973}+1$ là số nguyên tố
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 09-12-2014 - 23:24
Tìm $x$ để $A=x^{1975}+x^{1973}+1$ là số nguyên tố
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 09-12-2014 - 23:24
Xét TH :
Với x=0 (loại)
X=1 (TM)
$x\geq 2$
=> $x^{1975}-x=x(x^{1974}-1)\vdots (x^3-1)\vdots (x^2+x+1)$
$x^{1973}-x^2=x^2(x^{1971}-1)\vdots (x^3-1)\vdots (x^2+x+1)$
$x^2+x+1\vdots (x^2+x+1)$
=> $x^{1975}+x^{1973}+1\vdots x^2+x+1$
mà $x^{1975}+x^{1973}+1\neq x^2+x+1$
=> Loại
Vậy chỉ có một nghiệm là x=1
Với $x = 0$ thì A không là số nguyên tố nên $x \ge 1$.
Ta có: $A = x^{1975}+x^{1973}+1$
= $x^{1973}(x^2+x+1)-[(x^3)^{658}-1]$
= $x^{1973}(x^2+x+1)-{(x-1)(x^2+x+1)[(x^3)^{657}+...+x^3+1]}$
= $(x^2+x+1)${$x^{1973}-(x-1)[(x^3)^{657}+...+x^3+1]$}
Vì $x \in N$ và $x \ge 1$ nên $x^2+x+1 \ge 3$
Do đó để A là số nguyên tố thì $x^{1975}+x^{1973}+1 = x^2+x+1 \rightarrow x = 1$
Với $x = 1$ thì $A = 3$ là số nguyên tố
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vipboycodon: 08-12-2014 - 20:55
Với x=0 => loại
Với x=1 => thỏa mãn
Với x>1
Ta có x3 chia x2 + x + 1 dư 1
thì: x1975 chia x2 + x + 1 dư x
x1973 chia x2 + x +1 dư x2
=>A chia x2 + x +1 dư x2 + x +1
=> A chia hết cho x2 + x +1
=> Loại
Vậy x=1
Life has no meaning, but your death shall
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh