Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Putnam 2014

putnam 2014 sinh vien

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 09-12-2014 - 15:10

William Lowell Putnam Mathematical Competition 2014 (06/12/2014)

Phần A

Bài 1: Chứng minh rằng tất cả các hệ số của chuỗi Taylor hàm $(1-x+x^{2})e^{x}$ tại $x=0$ đều là các số hữu tỉ với tử số (sau khi rút gọn) bằng $1$ hoặc một số nguyên tố.

Bài 2: Cho $A$ là một ma trận vuông $n\times n$ có các phần tử ở hàng thứ $i$ và cột thứ $j$ là:
$$\frac{1}{\min(i,j)}$$
với $1\le i,j\le n$. Tính $det(A)$.

Bài 3: Cho $a_0=\frac{5}{2}$ và $a_{k}=a^2_{k-1}-2$ với $k\ge 1$. Tính
$$\prod^{\infty}_{k=0}\left( 1-\frac{1}{a_k}\right)$$

Bài 4: Lấy $X$ là một biến số ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên không âm, với $E[X]=1$, $E[X^2]=2$, và $E[X^3]=5$. (Ở đây, $E[Y]$ ký hiệu cho kỳ vọng của biến ngẫu nhiên $Y$.) Xác định giá trị nhỏ nhất có thể của xác suất tại biến cố $X=0$.

Bài 5: Cho $P_n(x)=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}$. Chứng minh rằng các đa thức $P_j(x)$ và $P_k(x)$ nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên dương $j$ và $k$ sao cho $j\ne k$.

Bài 6: Cho $n$ là một số nguyên dương. Xác định $k$ lớn nhất mà tại đó, tồn tại các ma trận vuông $n\times n$: $M_1,\dots,M_k$ và $N_1,\dots,N_k$ với các phần tử thực sao cho tồn tại một phần tử $0$ trên đường chéo chính của ma trận tích $M_iN_j$ khi và chỉ khi $i\ne j$?

Phần B

Bài 1: Ta định nghĩa trong cơ sở $10$ một 'khai triển thừa' của số nguyên dương $N$ là biểu thức $N=d_k10^k+d_{k-1}10^{k-1}+\cdots+d_0 10^0$, trong đó, $d_i\in [0,10]\forall i$ và $d_k\neq 0$. Ví dụ, số nguyên $N=10$ có hai khai triển thừa trong cơ sở $10$: $N=10\cdot 10^0$ và khai triển thông thường, $N=1\cdot 10^1+0\cdot 10^0$. Số nguyên dương nào chỉ có duy nhất một khai triển thừa trong cơ sở $10$?

Bài 2: Lấy $f$ là một hàm trên khoảng $[1,3]$ sao cho $-1\le f(x)\le 1$ với mọi x và $\int_1^3f(x) dx=0$. Giá trị lớn nhất của $\int_1^3\frac{f(x)}x dx$ là bao nhiêu?

Bài 3: Cho $A$ là một ma trận $m\times n$ với các phần tử hữu tỷ. Giả sử rằng có ít nhất $m+n$ số nguyên tố phân biệt trong số các trị tuyệt đối của các phần tử của $A$. Chứng minh rằng hạng của ma trận $A$ không bé hơn $2$.

Bài 4: Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, mọi nghiệm của đa thức
$$\sum_{k=0}^n 2^{k(n-k)}x^k$$
đều là các số thực.

Bài 5: Tại cuộc thi Putnam hàng năm lần thứ $75$, những người tham gia cạnh tranh trong các trò chơi toán học. Patniss và Keeta chơi một trò chơi mà tại đó họ lần lượt chọn ra một từ nhóm các ma trận vuông khả nghịch cấp $n$ với các phần tử trong trường $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ($n$ là một số nguyên dương và $p$ là một số nguyên tố cho trước). Các luật của trò chơi gồm:

(1) Một người không thể chọn một ma trận đã được chọn trong bất kỳ lượt trước nào.

(2) Một người chỉ có thể chọn một ma trận $A$ sao cho $A$ giao hoán với tất cả các ma trận đã được chọn bởi hai người trong các lượt trước.

(3) Người nào không thể tiếp tục chọn thỏa mãn các yêu cầu trên thì thua.

Biết Patniss chọn lượt đầu tiên, ai là người có chiến thuật có thể bảo đảm thắng?

Bài 6: Cho $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ là một hàm số sao cho tồn tại một hằng số $K>0$ thỏa mãn $|f(x)-f(y)|\le K|x-y|$ với mọi $x,y\in [0,1]$. Giả sử rằng với mỗi số hữu tỷ $r\in [0,1]$, cũng tồn tại các số nguyên $a$ và $b$ sao cho $f($$r$$)=a+br$. Chứng minh rằng có hữu hạn các khoảng $I_1,\dots,I_n$ sao cho $f$ là một hàm tuyến tính trên $I_i$ và $[0,1]=\bigcup_{i=1}^nI_i$.


^^~

#2 DangHuyNgheAn

DangHuyNgheAn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh thành- Nghệ an.
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 10-12-2014 - 16:51

Cho minh hỏi cai nay la ki thi cua nuoc nao vay?



#3 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 16-12-2014 - 20:16

Cho minh hỏi cai nay la ki thi cua nuoc nao vay?

cuộc thi toán sinh viên ở Mĩ và Canada

 

NTP


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh