Chủ đề này có 1 trả lời

[thuynhung22]

Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định, B và C thay đổi trên đường thẳng d cố định sao cho nếu gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d thì B, C nằm khác phía đối với H. Đường tròn đừơng kính AH cắt AB,AC lần l­ượt tại điểm thứ hai là M và N.Gọi P,D lần lượt là giao điểm của AH với MN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,(D khác A).

           1) CMR tứ giác MPDB nội tiếp đường tròn

           2) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu $\frac{CN}{AB}=\frac{BM}{CA}$ 

           3) Khi B C thay đổi trên d sao cho các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tiếp điểm tại M và N cắt nhau tại K và tích HB.HC là không đổi. CM K thuộc đường thẳng cố định

[vkhoa]

(hình vẽ bên dưới)

1)$\widehat{AMN} =\widehat{AHN} =\widehat{ACB} =\widehat{PDB}$

=>MPDB nội tiếp

2)$\frac{CN}{AB} =\frac{BM}{CA}$

<=>BM .BA =CN .CA (1)

tgiác AHB vuông có đường cao HM =>$BM .BA =BH^2$ (2)

tương tự tgiác AHC ...=>$CN .CA =CH^2$ (3)

từ (1, 2, 3) =>$BH^2 =CH^2$ <=>BH =CH

=>ABC cân tại A

3)$\triangle AHC \sim\triangle BHD$ (g, g)

=>$\frac{AH}{BH} =\frac{CH}{DH}$ <=>BH .CH =AH .DH

có BH .CH không đổi, AH không đổi =>DH không đổi =>D cố định

theo câu 1) ta có $\widehat{AMP} =\widehat{ADB}$

=>$\triangle AMP \sim\triangle ADB$ (g, g)

=>$\frac{AM}{AD} =\frac{AP}{AB}$ <=> AP .AD =AM .AB =$AH^2$

AH, AD không đổi =>AP không đổi =>P cố định

gọi I trung điểm AH, MN cắt IK tại Q, từ K hạ KR vuông góc AH tại R

tgiác IMK vuông có đường cao MQ 

=>$IQ .IK =IM^2$ (4)

$\triangle IPQ \sim\triangle IKR$ (g, g)

=>$\frac{IP}{IK} =\frac{IQ}{IR}$<=>IQ .IK =IP .IR (5)

từ (4, 5) =>$IP .IR =IM^2$

mà IP, IM không đổi =>IR không đổi =>R cố dịnh

Vậy K thuộc đường thẳng qua R vuông góc AH(đpcm)