Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 14-12-2014 - 17:11
$\frac{a^2}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(c+a)}+\frac{c^2}{a(a+b)} \geq \frac{3}{2}$
#1
Đã gửi 13-12-2014 - 22:54
- nguyenhongsonk612 và DOTOANNANG thích
#2
Đã gửi 13-12-2014 - 23:17
Cho $a,b,c>0$. CMR:$\frac{a^2}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(c+a)}+\frac{c^2}{a(a+b)} \geq \frac{3}{2}$
Áp dụng BĐT cô-si và schwarz ta có :
$\sum \frac{a^{2}}{b(b+c)}=\frac{8a^{2}}{8b(b+c)}\geq \frac{8a^{2}}{(3b+c)^{2}}\geq \frac{8}{3}(\sum \frac{a}{3b+c})^{2}= \frac{8}{3}(\sum \frac{a^{2}}{3ab+ac})^{2}\geq \frac{8}{3}(\frac{(a+b+c)^{2}}{4\sum ab})^{2}\geq \frac{8}{3}.(\sum \frac{(\sum a)^{2}}{\frac{4}{3}(\sum a)^{2}})= \frac{3}{2}$
- leduylinh1998, nguyenhongsonk612, nmtuan2001 và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 15-12-2014 - 21:52
Cho $a,b,c>0$. CMR:$\frac{a^2}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(c+a)}+\frac{c^2}{a(a+b)} \geq \frac{3}{2}$
$\frac{a^2}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(c+a)}+\frac{c^2}{a(a+b)}=\frac{a^4}{a^{2}b(b+c)}+\frac{b^4}{b^{2}c(c+a)}+\frac{c^4}{c^{2}a(a+b)}$
$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+abc(a+b+c)}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}+\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}+\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}}= \frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Algebra: 16-12-2014 - 14:30
- leduylinh1998 và nmtuan2001 thích
#4
Đã gửi 16-12-2014 - 06:30
$\frac{a^2}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(c+a)}+\frac{c^2}{a(a+b)}=\frac{a^4}{a^{2}b(b+c)}+\frac{b^4}{b^{2}c(c+a)}+\frac{c^4}{c^{2}a(a+b)}$
$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+3abc(a+b+c)}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}+(ab+bc+ca)^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}+(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}= \frac{3}{2}$
Chỉ $3abc(a+b+c)$ thôi. Phần cuối sai rồi.
- DOTOANNANG yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh