Cho a, b, c là ba số dương. CMR:
$\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1$
$\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1$
Bắt đầu bởi lanhmacluongbac, 14-12-2014 - 00:16
#1
Đã gửi 14-12-2014 - 00:16
lanhmacluongbac
-
- Thành viên
-
- 92 Bài viết
Hạ sĩ
- leduylinh1998, nguyenhongsonk612 và PolarBear154 thích
Phóng khoáng tự do
.
.
.
.
.
.
_Ta bay theo ngàn cơn gió ~~~~~~~
#2
Đã gửi 14-12-2014 - 00:54
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
Cho a, b, c là ba số dương. CMR:
$\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
$\sum _{cyc}\frac{a}{a+\sqrt{(a+c)(a+b)}}\leq \sum _{cyc}\frac{a}{a+\sqrt{(\sqrt{ab}+\sqrt{ac})^2}}=\sum _{cyc}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c>0$
- lanhmacluongbac, PolarBear154 và khanghaxuan thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#3
Đã gửi 14-12-2014 - 11:13
binhnhaukhong
-
- Thành viên
-
- 343 Bài viết
Sĩ quan
$\sqrt{(x+y)(x+z)}\geq x+\sqrt{yz}$
Do vậy $VT\leq\frac{x}{2x+\sqrt{yz}}+\frac{y}{2y+\sqrt{xz}}+\frac{z}{2z+\sqrt{xy}}$
Đặt $a=\frac{\sqrt{yz}}{x},b=\frac{\sqrt{xz}}{y},c=\frac{\sqrt{xy}}{z}\rightarrow abc=1$
Khi đó ta có $VT\leq\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leq 1\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 3(đúng)$
Do vậy ta có ĐPCM.
- lanhmacluongbac và nguyenhongsonk612 thích
Quy Ẩn Giang Hồ.
So goodbye!
#4
Đã gửi 20-12-2014 - 20:28
Tienanh tx
-
- Thành viên
-
- 360 Bài viết
$\Omega \textbf{Bùi Tiến Anh} \Omega$
Có BĐT phụ: $\sqrt{(a+b)(a+c)} \ge \sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})$
CM: Biến đỗi tương đương
$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$
$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$
$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$
$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
