Đến nội dung

Hình ảnh

$(a^2+b^2+c^2) \geqslant ab+bc+ca$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$:

$$a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$$

Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh:

$$abc\geqslant (a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)$$

Bài 3: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh:

$$(a^2+b^2+c^2)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) \leqslant abc(ab+bc+ca)$$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#2
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

1.$(a-b)^2\geq 0\Leftrightarrow a^2+b^2\geq 2ab$.DBXR khi a=b

CMTT:$a^2+b^2\geq 2ac$DBXR khi a=c

$b^2+c^2\geq 2cb$.DBXR khi b=c

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$



#3
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

2.Có trong chuyên đề BDT của sách nâng cao và phát triển lớp 8 tập 2



#4
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$:

$$a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$$

Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh:

$$abc\geqslant (a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)$$

Bài 3: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh:

$$(a^2+b^2+c^2)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) \leqslant abc(ab+bc+ca)$$

 

2 bài đầu "lừa tình" à?

Bài 3:

$\left\{\begin{matrix}\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1=\frac{\sum (a-b)(a-c)}{\sum ab}  &  & \\ \frac{abc}{(a+b+c)(b+c-a)  (c+a-b)}-1=\frac{\sum a(a-b)(a-c)}{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)} &  &  \end{matrix}\right.$
$BDT\Leftrightarrow x(a-b)(a-c)+y(b-c)(b-a)+z(c-a)(c-b)$
Với $x=\frac{a}{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}-\frac{1}{ab+bc+ca}$; $y;z..$
Thì $x;y;z\ge 0$.
 
Nếu $a\ge b\ge c$ thì $x\ge y\ge z$
Có: $\sum x(a-b)(a-c)=(a-b)[x(a-c)-y(b-c)]+z(c-a)(c-b)\ge (a-b)(b-c)(x-y)+z(c-a)(c-b)\ge 0$
 
P/s: Có thể dùng SOS
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 16-12-2014 - 18:00


#5
Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết

 

Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh:

$$abc\geqslant (a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)$$

Ta có: $a^2\geq a^2-(b-c)^2=(a-b+c)(a+b-c)$

           $b^2\geq b^2-(c-a)^2=(b-c+a)(b+a-c)$

           $c^2\geq c^2-(a-b)^2=(c-a+b)(c+a-b)$

Nhân theo vế 3 BĐT trên ta được dpcm! :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 16-12-2014 - 18:14


#6
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Problem 3: Assume $a\geqslant b\geqslant c$

$$(BDT) \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b-c)(a-b)^2+c(a^2+b^2+c^2-ab)(a-c)(b-c) \geqslant 0$$

This inequality is true.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#7
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Ta có: $a^2\geq a^2-(b-c)^2=(a-b+c)(a+b-c)$

           $b^2\geq b^2-(c-a)^2=(b-c+a)(b+a-c)$

           $c^2\geq c^2-(a-b)^2=(c-a+b)(c+a-b)$

Nhân theo vế 3 BĐT trên ta được dpcm! :D

 

Bạn có chắc là vế phải mỗi bất đẳng thức bạn thiết lập luôn dương không mà nhân lại bình thản vậy.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#8
Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết

Bạn có chắc là vế phải mỗi bất đẳng thức bạn thiết lập luôn dương không mà nhân lại bình thản vậy.

À....Ở đây mình quên phần chứng minh hai vế đều dương....Giờ chứng minh nè :))

Do vai trò $a,b,c$ như nhau nên ta giả sử $a>b>c$

Nếu $b+c\leq a$ thì VT là một số dương, còn vế phải là một số âm (luôn đúng)

Vậy $b+c>a$

CM tương tự ta có các ngoặc đều dương



#9
Lehalinhthcshb

Lehalinhthcshb

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$:
$$a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$$
Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh:
$$abc\geqslant (a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)$$
Bài 3: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh:
$$(a^2+b^2+c^2)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) \leqslant abc(ab+bc+ca)$$


Bài 1: giả sử $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + ac + bc <=> 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} \geq 2ab + 2ac + 2bc <=> (a-b)^{2} + (b-c)^{2} + (c-a)^{2} \geq 0$
Điều này luôn xảy ra với mọi số thực a, b, c
=> đpcm

Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

 

Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein

 

:luoi: :luoi: :luoi: :luoi:

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn  

                                                                              


#10
CandyPanda

CandyPanda

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

Hai bài đầu sinh ra để cho câu 3 trông khó khó ấy mà :v






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh