Cho a,b,c>0, abc=1 cmr :
$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq\frac{3}{2}$
$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq\frac{3}{2}$
Bắt đầu bởi Trinh Cao Van Duc, 16-12-2014 - 19:06
#2
Đã gửi 16-12-2014 - 19:21
dogsteven
-
- Thành viên
-
- 1567 Bài viết
Đại úy
$$(a,b,c)=\left(x^{-1}, y^{-1},z^{-1}\right)$$
$$LHS \geqslant \sum_{cyc} \dfrac{x^2}{y+z} \geqslant \dfrac{x+y+z}{2} \geqslant \dfrac{3}{2}$$
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#3
Đã gửi 16-12-2014 - 20:28
Nguyen Minh Hai
-
- Thành viên
-
- 666 Bài viết
Thiếu úy
$$(a,b,c)=\left(x^{-1}, y^{-1},z^{-1}\right)$$
$$LHS \geqslant \sum_{cyc} \dfrac{x^2}{y+z} \geqslant \dfrac{x+y+z}{2} \geqslant \dfrac{3}{2}$$
Anh thì cao siêu rồi...Nhưng anh có thể giải cho mọi người có thể hiểu được k? Nhìn bài anh giải mà cảm thấy ngứa mắt lắm ạ!
- Trinh Cao Van Duc và Hoang Long Le thích
#4
Đã gửi 16-12-2014 - 20:42
dogsteven
-
- Thành viên
-
- 1567 Bài viết
Đại úy
Đặt:
$$(a,b,c)=\left(\dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{y}, \dfrac{1}{z}\right) \Rightarrow \begin{cases}x,y,z > 0, xyz=1\end{cases}$$
$$\Rightarrow LHS =\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}$$
AM-GM: $$\dfrac{x^2}{y+z} + \dfrac{y+z}{4} \geqslant x \\ \dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{y+z}{4} \geqslant y \\ \dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4} \geqslant z$$
$$\Rightarrow LHS \geqslant x+y+z-\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{x+y+z}{2} \geqslant \dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 16-12-2014 - 20:44
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#5
Đã gửi 16-12-2014 - 20:43
Hoang Long Le
-
- Thành viên
-
- 265 Bài viết
Thượng sĩ
Cho a,b,c>0, abc=1 cmr :
$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq\frac{3}{2}$
Đặt $(a,b,c)=(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$ thì xyz=1
Ta có: $VT=\sum \frac{x^3}{\frac{1}{y}+\frac{1}{x}}=\sum \frac{x^2}{y+z}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c=1
- hoanglong2k yêu thích
IM LẶNG
#6
Đã gửi 20-12-2014 - 20:07
Tienanh tx
-
- Thành viên
-
- 360 Bài viết
$\Omega \textbf{Bùi Tiến Anh} \Omega$
Cho a,b,c>0, abc=1 cmr :
$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq\frac{3}{2}$
$BDT \Longleftrightarrow \sum \dfrac{(abc)^2}{a^3(b+c)} = \sum \dfrac{a^2}{b+c} \geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c} \geqslant \dfrac{3}{2}$
$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$
$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$
$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$
$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
