7 replies to this topic

[DangHuyNgheAn]

$Cho:x,y,z khongamthoaman:x^3+y^3+z^3=3.Tim MaxP=3(xy+yz+zx)-xyz$

[dogsteven]

Theo định lý ABC, ta chỉ cần xét khi $x=y$ và khi $z=0$

Edited by dogsteven, 17-12-2014 - 19:53.

[DangHuyNgheAn]

Ban noi cai gi vay???

[caominh]

Theo định lý ABC, ta chỉ cần xét khi $x=y$ và khi $z=0$

Bạn trình bày rõ ra nhé.Trình bày như một bài đi thi đi.Nếu vào bài làm mà bạn chia ra trường hợp như vậy là ngộ nhận điểm rơi rồi.

[Nguyen Minh Hai]

$Cho:x,y,z khongamthoaman:x^3+y^3+z^3=3.Tim MaxP=3(xy+yz+zx)-xyz$

Ta có: 
$\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)}{3^2}\geq \frac{(xy+yz+zx)(x+y+z)}{9}\geq \sqrt{(\frac{xy+yz+zx}{3})^3}$

$\Rightarrow xy+yz+xz\leq 3$

$\frac{1}{xyz}\leq \frac{1}{3}(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3})$

$\Rightarrow xyz\geq \frac{3}{\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}}\geq \frac{3}{\frac{9}{x^3+y^3+z^3}}=1$

$\Rightarrow -xyz \leq -1$

$\Rightarrow P\leq 3.3-1=8$

Xảy ra đẳng thức khi $x=y=z=1$

[dogsteven]

Ta có: 
$\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)}{3^2}\geq \frac{(xy+yz+zx)(x+y+z)}{9}\geq \sqrt{(\frac{xy+yz+zx}{3})^3}$

$\Rightarrow xy+yz+xz\leq 3$

$\frac{1}{xyz}\leq \frac{1}{3}(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3})$

$\Rightarrow xyz\geq \frac{3}{\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}}\geq \frac{3}{\frac{9}{x^3+y^3+z^3}}=1$

$\Rightarrow -xyz \leq -1$

$\Rightarrow P\leq 3.3-1=8$

Xảy ra đẳng thức khi $x=y=z=1$

 

Cauchy-Schwarz ngược rồi

[dogsteven]

Bạn trình bày rõ ra nhé.Trình bày như một bài đi thi đi.Nếu vào bài làm mà bạn chia ra trường hợp như vậy là ngộ nhận điểm rơi rồi.

Tôi đâu ngộ nhận điểm rơi. Trên là các trường hợp phải xét chứ phải điểm rơi đâu

[Bui Ba Anh]

Dogsteven dùng phương pháp ABC bá quá, cơ mà đi thi phải chứng minh lại     

Đặt ẩn $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r$

Từ giả thiết ta có $p^3=3pq+3-3r<=> p^3+9r=3pq+3+6r(1)$

Áp dụng bất đẳng thức $Schur$ ta có $p^3+9r\geq 4pq(2)$

Từ $(1),(2)$ suy ra $3pq+3+6r\geq 4pq<=>r\geq \frac{pq-3}{6}$

Mặt khác áp dụng cô si dễ dàng suy ra $q\leq 3$

Từ đây suy ra $<=> 3q-r\leq 3q-\frac{pq-3}{6}\leq 3q-\frac{q\sqrt{3q}-3}{6}=3t^2-\frac{\sqrt{3}t^3-3}{6}(3)$

Ta chứng minh $VP(3)\leq 8<=>\sqrt{3}t^3-18t^2+45\geq 0<=>(t-\sqrt{3})(\sqrt{3}t^2-15t-15\sqrt{3})\geq 0 (t=\sqrt{q})$ 

Với $0<t \leq \sqrt{3}$ thì điều trên luôn đúng

Max=8 khi $x=y=z=1$

A-QJ))