Cho tam giác ABC. Tìm GTLN của:
$T=\frac{\sqrt[3]{sinA}+\sqrt[3]{sinB}+\sqrt[3]{sinC}}{\sqrt[3]{cos\frac{A}{2}}+\sqrt[3]{cos\frac{B}{2}}+\sqrt[3]{cos\frac{C}{2}}}$
Cho tam giác ABC. Tìm GTLN của:
$T=\frac{\sqrt[3]{sinA}+\sqrt[3]{sinB}+\sqrt[3]{sinC}}{\sqrt[3]{cos\frac{A}{2}}+\sqrt[3]{cos\frac{B}{2}}+\sqrt[3]{cos\frac{C}{2}}}$
Cho tam giác ABC. Tìm GTLN của:
$T=\frac{\sqrt[3]{sinA}+\sqrt[3]{sinB}+\sqrt[3]{sinC}}{\sqrt[3]{cos\frac{A}{2}}+\sqrt[3]{cos\frac{B}{2}}+\sqrt[3]{cos\frac{C}{2}}}$
Ta sẽ chứng minh $T \leqslant 1$
Áp dụng AM-GM và bất đẳng thức phụ trong tam giác ta có
$\sqrt[3]{\sin A}+\sqrt[3]{\sin B}\leqslant 2\sqrt[3]{\frac{\sin A+\sin B}{2}}\leqslant 2\sqrt[3]{\sin \frac{A+B}{2}}=2\sqrt[3]{\cos \frac{C}{2}}$
Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có
$\sum \sqrt[3]{\sin A}\leqslant \sum \sqrt[3]{\cos \frac{A}{2}}$
Đẳng thức xảy ra khi tam giác đã cho đều
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh