Chủ đề này có 1 trả lời

[Linh Naughty]

cho $x,y$ khác $0$ thỏa mãn $x^2+y^2-xy=xy(x+y)$. Tìm Max $A=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 21-12-2014 - 13:40

[ngutoanso1]

ta có: x^2 +y^2 -xy >0 với mọi xy 
chia cả 2 vế cho x^2y^2 đc: 1/x +1/y = (x^2 + y^2 - xy)/(x^2y^2) >0 
đặt a = 1/x ; b = 1/y ta có: (a+b >0 ) 
(1/a+1/b).1/(ab) = 1/a^2 +1/b^2 -1/(ab) 
<=> a+b = a^2 +b^2 -ab 
bđt trở thành tìm max:A = a^3 +b^3 = (a+b)(a^2 +b^2 -ab) = (a+b)^2 
sao cho a+b = a^2 +b^2 -ab 
ta có: a+b = (a+b)^2 -3ab >= (a+b)^2 -3/4.(a+b)^2 = 1/4.(a+b)^2 
=> 4(a+b) -(a+b)^2 >=0 <=> (a+b)(4-a-b) >=0 => 4>=a+b >=0 hoặc a+b <=0(loại do ko tm đk) 
=> A = (a+b)^2 <= 16