Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum\frac{b^2c}{a^3(b+c)}\geq \frac{1}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Phuong Mark

Phuong Mark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết

Cho $a,b,c>0;a+b+c=1:$ cmr.

$\frac{b^2c}{a^3(b+c)}+\frac{c^2a}{b^3(c+a)}+\frac{a^2b}{c^3(a+b)}\geq \frac{1}{2}$


Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !

 

 

 


#2
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Cho $a,b,c>0;a+b+c=1:$ cmr.

$\frac{b^2c}{a^3(b+c)}+\frac{c^2a}{b^3(c+a)}+\frac{a^2b}{c^3(a+b)}\geq \frac{1}{2}$

 

Chỗ kia phải là $\geq \frac{9}{2}$ nhé!

 

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz kết hợp $AM-GM$ có

 

VT $=\sum \frac{(\sqrt{\frac{b^2c}{a^3}})^2}{b+c}\geq \frac{(\sum \sqrt{\frac{b^2c}{a^3}})^2}{2(a+b+c)}\geq \frac{9}{2}$

 

Dấu $=$ khi $3a=3b=3c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 21-12-2014 - 09:13


#3
Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết

Cho $a,b,c>0;a+b+c=1:$ cmr.

$\frac{b^2c}{a^3(b+c)}+\frac{c^2a}{b^3(c+a)}+\frac{a^2b}{c^3(a+b)}\geq \frac{1}{2}$

 

Chỗ kia phải là $\geq \frac{9}{2}$ nhé!

 

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz kết hợp $AM-GM$ có

 

VT $=\sum \frac{(\sqrt{\frac{b^2c}{a^3}})^2}{b+c}\geq \frac{(\sum \sqrt{\frac{b^2c}{a^3}})^2}{2(a+b+c)}\geq \frac{9}{2}$

 

Dấu $=$ khi $3a=3b=3c=1$

Ý tưởng của lahantaithe99 rất hay !Nhưng mình nghĩ bài này dùng chay cô si cũng được mà

Áp dụng bất đẳng thức cô si 3 số có

$VT\geq 3.\sqrt[3]{\frac{1}{(a+b)(a+c)(b+c)}}$

mà ta có:$\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(a+c)}\leq \frac{a+b+b+c+a+c}{3}=\frac{2}{3}$

Từ 2 bất đẳng thức trên suy ra $VT\geq 3.\frac{1}{\frac{2}{3}}=3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 21-12-2014 - 20:21

Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#4
Phuong Mark

Phuong Mark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết

Chỗ kia phải là $\geq \frac{9}{2}$ nhé!

 

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz kết hợp $AM-GM$ có

 

VT $=\sum \frac{(\sqrt{\frac{b^2c}{a^3}})^2}{b+c}\geq \frac{(\sum \sqrt{\frac{b^2c}{a^3}})^2}{2(a+b+c)}\geq \frac{9}{2}$

 

Dấu $=$ khi $3a=3b=3c=1$

sorry! :lol:

 

Ý tưởng của lahantaithe99 rất hay !Nhưng mình nghĩ bài này dùng chay cô si cũng được mà

Áp dụng bất đẳng thức cô si 3 số có

$VT\geq 3.\sqrt[3]{\frac{1}{(a+b)(a+c)(b+c)}}$

mà ta có:$\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(a+c)}\leq \frac{a+b+b+c+a+c}{3}=\frac{2}{3}$

Từ 2 bất đẳng thức trên suy ra $VT\geq 3.\frac{1}{\frac{2}{3}}=3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c=1$

dấu ''=''' xảy ra


Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh