Chủ đề này có 1 trả lời

[EvaristeGaloa]

Cho $(x+\sqrt{1+y^{2}})(y+\sqrt{1+x^{2}})=1$. (x,y là các số thực)

C/m: $(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=1$

[hoanglong2k]

Cho $(x+\sqrt{1+y^{2}})(y+\sqrt{1+x^{2}})=1$. (x,y là các số thực)
C/m: $(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=1$

Xét $(x-\sqrt{1+y^2})(y-\sqrt{1+x^2})=xy-x\sqrt{1+x^2}-y\sqrt{1+y^2}+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=$
$\Rightarrow (x+\sqrt{1+y^{2}})(y+\sqrt{1+x^{2}})(x-\sqrt{1+y^2})(y-\sqrt{1+x^2})=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-1$
$\Leftrightarrow (x^2-1-y^2)(y^2-1-x^2)=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-1$
$\Leftrightarrow [1-(x^2-y^2)][1+(x^2-y^2)]=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-1$
$\Leftrightarrow 1-(x^2-y^2)^2=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-1$
$\Leftrightarrow 2(1-xy)=2\sqrt{1+x^2+y^2+x^2y^2}+(x^2-y^2)^2\geq 2\sqrt{(1-xy)^2+(x+y)^2}\geq 2|1-xy|$
$\Rightarrow 1-xy\geq |1-xy|$ mà ta luôn có $|1-xy|\geq 1-xy\Rightarrow 1-xy=|1-xy|\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2=y^2 \\ x+y=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow x=-y$
Thay vào:$(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=(x+\sqrt{1+y^{2}})(y+\sqrt{1+x^{2}})=1$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 19-07-2015 - 21:04