Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|<\frac{1}{8}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Phuong Mark

Phuong Mark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:${\text{Vitamin Vitamin}}$
  • Sở thích:Tự kỉ một mình trong rừng xanh

Đã gửi 23-12-2014 - 22:05

Co $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác: cmr.

$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|<\frac{1}{8}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Mark: 23-12-2014 - 22:06

Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !

 

 

 


#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 25-12-2014 - 15:38

Co $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác: cmr.

$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|<\frac{1}{8}$

ta có $\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

do đó ta cần chứng minh $(a+b)(b+c)(c+a)>8\left | (a-b)(b-c)(c-a) \right |$

vì $a,b,c$ là $3$ cạnh tam giác nên đặt $\left\{\begin{matrix} x=\frac{b+c-a}{2}\\y=\frac{c+a-b}{2} \\z=\frac{a+b-c}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=y+z\\b=z+x \\c=x+y \end{matrix}\right.$

 

do đó ta cần chứng minh $\prod (2x+y+z)\geq 8\left | \prod (x-y) \right |$

không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$

do đó $\prod (2x+y+z)>(2x+y)(2y+x)(x+y)$

và $\left | \prod (x-y) \right |\leq xy(x-y)$

do đó ta chỉ cần chứng minh $(2x+y)(2y+x)(x+y)>8xy(x-y)$

ta có $(2x+y)(2y+x)(x+y)=\left [ 2(x-y)^2+9xy \right ](x+y)\geq 12\sqrt{2}xy(x-y)>8xy(x-y)$

do đó có đpcm

 

U-Th


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 25-12-2014 - 15:38

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#3 Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K13 - THPT Mai Thúc Loan - Lộc Hà - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán!

Đã gửi 07-01-2015 - 17:12

Co $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác: cmr.

$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|<\frac{1}{8}$

 

Ta có:

 

$T=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a} \right |=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-b+b-a}{c+a} \right |$

 

$=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-a}{c+a}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-b}{c+a} \right |$

 

$=\left | (a-b)\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a} \right )+(b-c)\left ( \frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a} \right ) \right |$

 

$=\left | (a-b)\frac{c+a-a-b}{(a+b)(c+a)}+(b-c)\frac{c+a-b-c}{(b+c)(c+a)} \right |$

 

$=\left | \frac{(a-b)(c-b)}{a+c}\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c} \right ) \right |$

 

$=\left | \frac{(a-b)(c-b)}{a+c}.\frac{b+c-a-b}{(a+b)(b+c)} \right |$

 

$=\left | \frac{(a-b)(c-b)(c-a)}{(a+c)(a+b)(b+c)} \right |=\frac{|a-b||c-b||c-a|}{(a+b)(b+c)(c+a)}< \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

 

Theo bất đẳng thức $Cauchy$ ta có:

 

$\left\{\begin{matrix} a+b\geq 2\sqrt{ab}\\ b+c\geq 2\sqrt{bc}\\ c+a\geq 2\sqrt{ca} \end{matrix}\right. \Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$

 

$\Rightarrow \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{1}{8}\Rightarrow T< \frac{1}{8}$  ($đpcm$)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh