Co $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác: cmr.
$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|<\frac{1}{8}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Mark: 23-12-2014 - 22:06
Co $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác: cmr.
$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|<\frac{1}{8}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Mark: 23-12-2014 - 22:06
Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !
Co $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác: cmr.
$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|<\frac{1}{8}$
ta có $\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
do đó ta cần chứng minh $(a+b)(b+c)(c+a)>8\left | (a-b)(b-c)(c-a) \right |$
vì $a,b,c$ là $3$ cạnh tam giác nên đặt $\left\{\begin{matrix} x=\frac{b+c-a}{2}\\y=\frac{c+a-b}{2} \\z=\frac{a+b-c}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=y+z\\b=z+x \\c=x+y \end{matrix}\right.$
do đó ta cần chứng minh $\prod (2x+y+z)\geq 8\left | \prod (x-y) \right |$
không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$
do đó $\prod (2x+y+z)>(2x+y)(2y+x)(x+y)$
và $\left | \prod (x-y) \right |\leq xy(x-y)$
do đó ta chỉ cần chứng minh $(2x+y)(2y+x)(x+y)>8xy(x-y)$
ta có $(2x+y)(2y+x)(x+y)=\left [ 2(x-y)^2+9xy \right ](x+y)\geq 12\sqrt{2}xy(x-y)>8xy(x-y)$
do đó có đpcm
U-Th
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 25-12-2014 - 15:38
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Co $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác: cmr.
$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|<\frac{1}{8}$
Ta có:
$T=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a} \right |=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-b+b-a}{c+a} \right |$
$=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-a}{c+a}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-b}{c+a} \right |$
$=\left | (a-b)\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a} \right )+(b-c)\left ( \frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a} \right ) \right |$
$=\left | (a-b)\frac{c+a-a-b}{(a+b)(c+a)}+(b-c)\frac{c+a-b-c}{(b+c)(c+a)} \right |$
$=\left | \frac{(a-b)(c-b)}{a+c}\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c} \right ) \right |$
$=\left | \frac{(a-b)(c-b)}{a+c}.\frac{b+c-a-b}{(a+b)(b+c)} \right |$
$=\left | \frac{(a-b)(c-b)(c-a)}{(a+c)(a+b)(b+c)} \right |=\frac{|a-b||c-b||c-a|}{(a+b)(b+c)(c+a)}< \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Theo bất đẳng thức $Cauchy$ ta có:
$\left\{\begin{matrix} a+b\geq 2\sqrt{ab}\\ b+c\geq 2\sqrt{bc}\\ c+a\geq 2\sqrt{ca} \end{matrix}\right. \Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$
$\Rightarrow \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{1}{8}\Rightarrow T< \frac{1}{8}$ ($đpcm$)
Facebook: https://www.facebook.com/ntn3004
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh