Đến nội dung

Hình ảnh

$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|<\frac{1}{8}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Phuong Mark

Phuong Mark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết

Co $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác: cmr.

$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|<\frac{1}{8}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Mark: 23-12-2014 - 22:06

Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !

 

 

 


#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Co $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác: cmr.

$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|<\frac{1}{8}$

ta có $\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

do đó ta cần chứng minh $(a+b)(b+c)(c+a)>8\left | (a-b)(b-c)(c-a) \right |$

vì $a,b,c$ là $3$ cạnh tam giác nên đặt $\left\{\begin{matrix} x=\frac{b+c-a}{2}\\y=\frac{c+a-b}{2} \\z=\frac{a+b-c}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=y+z\\b=z+x \\c=x+y \end{matrix}\right.$

 

do đó ta cần chứng minh $\prod (2x+y+z)\geq 8\left | \prod (x-y) \right |$

không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$

do đó $\prod (2x+y+z)>(2x+y)(2y+x)(x+y)$

và $\left | \prod (x-y) \right |\leq xy(x-y)$

do đó ta chỉ cần chứng minh $(2x+y)(2y+x)(x+y)>8xy(x-y)$

ta có $(2x+y)(2y+x)(x+y)=\left [ 2(x-y)^2+9xy \right ](x+y)\geq 12\sqrt{2}xy(x-y)>8xy(x-y)$

do đó có đpcm

 

U-Th


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 25-12-2014 - 15:38

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#3
Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết

Co $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác: cmr.

$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|<\frac{1}{8}$

 

Ta có:

 

$T=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a} \right |=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-b+b-a}{c+a} \right |$

 

$=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-a}{c+a}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-b}{c+a} \right |$

 

$=\left | (a-b)\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a} \right )+(b-c)\left ( \frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a} \right ) \right |$

 

$=\left | (a-b)\frac{c+a-a-b}{(a+b)(c+a)}+(b-c)\frac{c+a-b-c}{(b+c)(c+a)} \right |$

 

$=\left | \frac{(a-b)(c-b)}{a+c}\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c} \right ) \right |$

 

$=\left | \frac{(a-b)(c-b)}{a+c}.\frac{b+c-a-b}{(a+b)(b+c)} \right |$

 

$=\left | \frac{(a-b)(c-b)(c-a)}{(a+c)(a+b)(b+c)} \right |=\frac{|a-b||c-b||c-a|}{(a+b)(b+c)(c+a)}< \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

 

Theo bất đẳng thức $Cauchy$ ta có:

 

$\left\{\begin{matrix} a+b\geq 2\sqrt{ab}\\ b+c\geq 2\sqrt{bc}\\ c+a\geq 2\sqrt{ca} \end{matrix}\right. \Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$

 

$\Rightarrow \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{1}{8}\Rightarrow T< \frac{1}{8}$  ($đpcm$)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh