Chủ đề này có 2 trả lời

[Phuong Mark]

$cmr:\Delta ABC$ $\text{đều:}$

$\to a;a+b+c=2(a\cos A+b\cos B+c\cos C)$

$\to b;\angle A=60^0,a=10,r=\frac{5\sqrt{3}}{3}$

[Forgive Yourself]

$cmr:\Delta ABC$ $\text{đều:}$

$\to a;a+b+c=2(a\cos A+b\cos B+c\cos C)$

 

 

Hệ thức đã cho tương đương:

 

$2R(sinA+sinB+sinC)=2R.2sinAcosA+2R.2sinBcosB+2R.2sinCcosC$

 

$\Leftrightarrow sinA+sinB+sinC=sin2A+sin2B+sin2C$

 

Ta có:

 

$sin2A+sin2B+sin2C=\frac{1}{2}[(sin2A+sin2B)+(sin2B+sin2C)+(sin2C+sin2A)]$

 

$=\frac{1}{2}[2sin(A+B)cos(A-B)+2sin(B+C)cos(B-C)+2sin(C+A)(C-A)]$

 

$=sinCcos(A-B)+sinAcos(B-C)+sinBcos(C-A) \leq sinC+sinA+sinB$

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C$ hay $\Delta ABC$ đều

[Forgive Yourself]

$cmr:\Delta ABC$ $\text{đều:}$

$\to a;a+b+c=2(a\cos A+b\cos B+c\cos C)$

 

Cách 2:

 

Hệ thức tương đương $4sinAsinBsinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$

 

$\Leftrightarrow cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}=8sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$

 

$\Leftrightarrow 1=8sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$

 

$\Leftrightarrow 1=4\left [ cos\frac{A-B}{2}-cos\frac{A+B}{2} \right ]cos\frac{A+B}{2}$

 

$\Leftrightarrow \left ( 2cos\frac{A+B}{2}-cos\frac{A-B}{2} \right )^2+sin^2\frac{A-B}{2}=0$

 

$\Leftrightarrow A=B=C\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 05-01-2015 - 15:47