Chủ đề này có 1 trả lời

[mayumichan]

Cho $a\geq 2,b\geq 9,c\geq 1945$ ; $a+b+c=2000$.Tìm GTLN của $A=abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 18-01-2015 - 00:22

[nhungvienkimcuong]

Cho $a\geq 2,b\geq 9,c\geq 1945$ ; a+b+c=2000. Tìm GTLN của A= abc

đổi biến $(a,b,c)\rightarrow \left ( x+2,y+9,z+1945 \right )$

do đó ta có $\left\{\begin{matrix} x,y,z\geq 0\\x+y+z=44 \end{matrix}\right.$

do đó ta cần tìm $max$ của $A=(x+2)(y+9)(z+1945)$

đặt $f(x,y,z)=(x+2)(y+9)(z+1945)+\lambda (x+y+z-44)$

điểm cực trị của $f(x,y,z)$ là nghiệm của hệ

$\left\{\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial z}=0\\x+y+z=44 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (y+9)(z+1945)+\lambda=0 \\(z+1945)(x+2)+\lambda=0 \\(x+2)(y+9) +\lambda=0 \\x+y+z=44 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (y+9)(z+1945)=(z+1945)(x+2)=(x+2)(y+9)=-\lambda\\x+y+z=44 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1944}{3}\\y=\frac{1973}{3} \\z=-\frac{3835}{3} \end{matrix}\right.$

điều này vô lí tới đây ta xét các trường hợp tại biên và dễ dàng nhận ra tại $z=0$ thì $f(x,y,z)$ đạt $max$

vậy $\boxed{A_{max}=\frac{5883625}{4}\Leftrightarrow (x,y,z)=\left ( \frac{51}{2},\frac{37}{2},0 \right )\Leftrightarrow (a,b,c)=\left ( \frac{55}{2},\frac{55}{2},1945 \right )}$

 

U-Th