Chủ đề này có 4 trả lời

[bestmather]

Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức:

P=$\sum \frac{a^2}{(a+b)^2}$  

[dogsteven]

$$\dfrac{a^2}{(a+b)^2}+\dfrac{b^2}{(a+b)^2} \geqslant \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}\right)^2 = \dfrac{1}{2}$$

[CandyPanda]

$\sum \frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}$ ở đây là cái nào thế ???

- $\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c+a)^{2}}$

- $\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c+a)^{2}}+\frac{b^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{c^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{a^{2}}{(c+a)^{2}}$

- $\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c+a)^{2}}+\frac{b^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{c^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{a^{2}}{(c+a)^{2}}+\frac{c^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{(c+a)^{2}}$

[bestmather]

$\sum \frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}$ ở đây là cái nào thế ???

- $\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c+a)^{2}}$

- $\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c+a)^{2}}+\frac{b^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{c^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{a^{2}}{(c+a)^{2}}$

- $\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c+a)^{2}}+\frac{b^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{c^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{a^{2}}{(c+a)^{2}}+\frac{c^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{(c+a)^{2}}$

xin lỗi các bạn mình hơi sơ ý     

P=$\frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2}{(b+c)^2}+\frac{c^2}{(c+a)^2}$  

[KietLW9]

Ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng: $\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^2}+\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^2}+\frac{1}{(1+\frac{a}{c})^2}\geqslant \frac{3}{4}$

Đặt $\frac{b}{a}=x;\frac{c}{b}=y\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{1}{xy}$

Ta cần có: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{x^2y^2}{(xy+1)^2}\geqslant \frac{3}{4}$ (*)

Mà ta dễ chứng minh: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geqslant \frac{1}{1+xy}$ nên ta đưa bất đẳng thức (*) về dạng: $\frac{1}{1+xy}+\frac{x^2y^2}{(1+xy)^2}\geqslant \frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{(xy-1)^2}{4(xy+1)^2}\geqslant 0(true)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$