Chủ đề này có 2 trả lời

[songokucadic1432]

cho r là số thực >1

xét các số thực x,y thỏa mãn

$\left ( x+\sqrt{1+x^2} \right )(y+\sqrt{1+y^2})=r$

tìm min(x+y)

thank     

[CandyPanda]

Từ giả thiết, ta có:

$r(\sqrt{1+x^{2}}-x)=y+\sqrt{1+y^{2}}$

$r(\sqrt{1+y^{2}}-y)=x+\sqrt{1+x^{2}}$

 

Cộng theo vế, suy ra: $(r+1)(x+y)=(r-1)(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}})\geq (r-1)\sqrt{4+(x+y)^{2}}$

Bình phương rồi chuyển vế, ta được: $x+y\geq \frac{r-1}{\sqrt{r}}$

Đẳng thức khi  $x=y=\frac{r-1}{2\sqrt{r}}$

[binhnhaukhong]

Cũng có thể làm như sau:

Đặt $x=\frac{a^2-1}{2a},y=\frac{b^2-1}{2b}$

Thế thì $x+\sqrt{1+x^2}=a,y+\sqrt{1+y^2}=b\Rightarrow ab=r$

$x+y=\frac{(ab-1)(a+b)}{2ab}=\frac{(r-1)(a+b)}{2ab}\geq \frac{(r-1)}{\sqrt{r}}$