Đến nội dung

Hình ảnh

ĐỀ THI CHUYỂN HỆ LỚP 10 THPT CHUYÊN SPHN


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI         NĂM HỌC 2014-2015

     ĐỀ THI CHUYỂN HỆ LỚP 10

          Thời gian : 150 phút

Câu 1: Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix} \left ( x^2-y+2 \right )\left ( y^2-x+2 \right )=0\\ x+y+3=3\sqrt{2y-1} \end{matrix}\right.$$

Câu 2: Cho $p$ là số nguyên tố lẻ và $k$ là số nguyên dương không lớn hơn $2p$ . Chứng minh rằng :

$$\textrm{C}_{2pk}^{2p}\equiv k\left ( 2k-1 \right )(modp)$$

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ . Đường tròn nội tiếp có tâm là $I$ tiếp xúc với

cạnh $BC$ ở điểm $D$. Đường thẳng qua $I$ song song với $BC$ cắt $AB,AC$ ở các điểm $E,F$. Gọi $X$ là giao điểm của các đường thẳng $AB,DF$ và $Y$ là giao điểm của các đường thẳng $AD,DE$. Các đường thẳng $AD$ và $XY$ gặp nhau ở $Z$. Chứng minh rằng :

  1. Tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ nằm trên đường thẳng qua $Z$ và song song với $BC$.
  2. Tam giác $BCZ$ cân.

Câu 4. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x\leq 1,y\leq 2$ và $x+y+z=6$. Chứng minh rằng 

$$\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )\geq 4xyz.$$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#2
hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết

Câu 1: Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix} \left ( x^2-y+2 \right )\left ( y^2-x+2 \right )=0\\ x+y+3=3\sqrt{2y-1} \end{matrix}\right.$$

 

 

Solution 1.

We have: $\begin{bmatrix} x=y^2+2\\ y=x^2+2 \end{bmatrix}$

Case 1/

$x=y^2+2\Rightarrow y^2+y+5=3.\sqrt{(2y-1).1}\leq 3.y\Leftrightarrow (y-1)^2+4\leq 0\rightarrow \boldsymbol{False}$

Case 2/

$y=x^2+2\Rightarrow x^2+x+5=3.\sqrt{2x^2+3}\Rightarrow (x^2+4x-1)(1+\frac{3}{x-2+\sqrt{2x^2+3}})=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-2\pm \sqrt{5}\\ 1+\frac{3}{x-2+\sqrt{2x^2+3}} \end{bmatrix}$

End prove

 

P/s: TL: Lần sau gửi bài dùng tiếng việt nhá . Mình không phải việt Kiều 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 03-01-2015 - 09:44

Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#3
hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết

 

Câu 4. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x\leq 1,y\leq 2$ và $x+y+z=6$. Chứng minh rằng 

$$\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )\geq 4xyz.$$

 

Solution 4/ DdT 's idea :D

We have: $6=x+y+z=x+\frac{y}{2}.2+\frac{z}{3}.3\geq 6.\sqrt[6]{\frac{xy^2z^3}{108}}\Rightarrow xyz\leq 6$

So, prove that: $LHS=\prod (x+1)\geq 4\prod x\Leftrightarrow LHS\geq 2\sqrt{x}.3\sqrt[3]{\frac{y^2}{4}}.\sqrt[4]{\frac{y^3}{27}}=24.\sqrt[12]{\frac{x^6y^8.z^9}{4^4.27^3}}\geq 4\prod x\Leftrightarrow xyz\leq 6\rightarrow \boldsymbol{True}$

$(Q.E.D)$


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#4
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Câu 4. Sử dụng hàm bậc nhất đánh giá : 

$\prod \left ( x+1 \right )\geq 4xyz\Leftrightarrow \left ( xy+x+y+1 \right )\left ( 7-x-y \right )-4xy(6-x-y)\geq 0$

Ta có : $f(x)=\left ( xy+x+y+1 \right )\left ( 7-x-y \right )-4xy(6-x-y)\geq 0$ vì $0< x\leq 1$

Ta có : $f(0)=\left ( y+1 \right )\left ( 7-y \right )\geq 0$ vì $0< y\leq 2$

$f(1)=\left ( 2y+2 \right )\left ( 6-y \right )-4y(5-y)=(y-2)(y-3)\geq 0$ vì $0< y\leq 2$

$\Rightarrow f(x)\geq 0\Rightarrow dpcm$

 

Solution 4/ DdT 's idea :D

We have: $6=x+y+z=x+\frac{y}{2}.2+\frac{z}{3}.3\geq 6.\sqrt[6]{\frac{xy^2z^3}{108}}\Rightarrow xyz\leq 6$

So, prove that: $LHS=\prod (x+1)\geq 4\prod x\Leftrightarrow LHS\geq 2\sqrt{x}.3\sqrt[3]{\frac{y^2}{4}}.\sqrt[4]{\frac{y^3}{27}}=24.\sqrt[12]{\frac{x^6y^8.z^9}{4^4.27^3}}\geq 4\prod x\Leftrightarrow xyz\leq 6\rightarrow \boldsymbol{True}$

$(Q.E.D)$

 . Mình chỉ góp ý , mong bạn không nên dùng tiếng anh. 


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#5
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Câu hình là 1 trong các ứng dụng đẹp của phương tích với đường tròn điểm, đã có tại đây

 

http://www.artofprob...p?f=47&t=459501



#6
NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 344 Bài viết

Bổ đề(Định lý Babbage)

                             Cho $p$ nguyên tố lẻ ;$a \leq b$ nguyên dương

           Khi đó: $C_{ap}^{bp}\equiv C_{a}^{b}\left ( mod p^{2} \right )$

Áp dụng bổ đề trên ta có:

 $C_{2pk}^{2p}\equiv C_{2k}^{2}\equiv \frac{\left ( 2k \right )!}{2!\left ( 2k-2 \right )!}\equiv k\left ( 2k-1 \right )\left ( mod p \right )$

Từ đó có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 25-12-2016 - 22:43

$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#7
Maytroi

Maytroi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết

Bổ đề(Định lý Babbage)

                             Cho $p$ nguyên tố lẻ ;$a \leq b$ nguyên dương

           Khi đó: $C_{ap}^{bp}\equiv C_{a}^{b}\left ( mod p^{2} \right )$

 có chứng minh của định lý không ạ


:ph34r:người đàn ông bí ẩn :ninja:


#8
lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết

 có chứng minh của định lý không ạ

 

Áp dụng định lý Vandermonde. Btw không biết nyc làm có tốt không nữa :P


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamNMP01: 28-05-2017 - 23:55


#9
lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết

Ở bài toán trên :)))). Thay số 1 bởi số 3 câu chuyện thú vị hơn nhiều ( $p^3$ ).

 

Làm luôn vì nhân thể nyc hỏi mình bài này :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamNMP01: 29-05-2017 - 00:10





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh