THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM HỌC 2014-2015
ĐỀ THI CHUYỂN HỆ LỚP 10
Thời gian : 150 phút
Câu 1: Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{matrix} \left ( x^2-y+2 \right )\left ( y^2-x+2 \right )=0\\ x+y+3=3\sqrt{2y-1} \end{matrix}\right.$$
Câu 2: Cho $p$ là số nguyên tố lẻ và $k$ là số nguyên dương không lớn hơn $2p$ . Chứng minh rằng :
$$\textrm{C}_{2pk}^{2p}\equiv k\left ( 2k-1 \right )(modp)$$
Câu 3: Cho tam giác $ABC$ . Đường tròn nội tiếp có tâm là $I$ tiếp xúc với
cạnh $BC$ ở điểm $D$. Đường thẳng qua $I$ song song với $BC$ cắt $AB,AC$ ở các điểm $E,F$. Gọi $X$ là giao điểm của các đường thẳng $AB,DF$ và $Y$ là giao điểm của các đường thẳng $AD,DE$. Các đường thẳng $AD$ và $XY$ gặp nhau ở $Z$. Chứng minh rằng :
- Tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ nằm trên đường thẳng qua $Z$ và song song với $BC$.
- Tam giác $BCZ$ cân.
Câu 4. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x\leq 1,y\leq 2$ và $x+y+z=6$. Chứng minh rằng
$$\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )\geq 4xyz.$$