Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

ĐỀ THI CHUYỂN HỆ LỚP 10 THPT CHUYÊN SPHN


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 03-01-2015 - 09:24

THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI         NĂM HỌC 2014-2015

     ĐỀ THI CHUYỂN HỆ LỚP 10

          Thời gian : 150 phút

Câu 1: Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix} \left ( x^2-y+2 \right )\left ( y^2-x+2 \right )=0\\ x+y+3=3\sqrt{2y-1} \end{matrix}\right.$$

Câu 2: Cho $p$ là số nguyên tố lẻ và $k$ là số nguyên dương không lớn hơn $2p$ . Chứng minh rằng :

$$\textrm{C}_{2pk}^{2p}\equiv k\left ( 2k-1 \right )(modp)$$

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ . Đường tròn nội tiếp có tâm là $I$ tiếp xúc với

cạnh $BC$ ở điểm $D$. Đường thẳng qua $I$ song song với $BC$ cắt $AB,AC$ ở các điểm $E,F$. Gọi $X$ là giao điểm của các đường thẳng $AB,DF$ và $Y$ là giao điểm của các đường thẳng $AD,DE$. Các đường thẳng $AD$ và $XY$ gặp nhau ở $Z$. Chứng minh rằng :

  1. Tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ nằm trên đường thẳng qua $Z$ và song song với $BC$.
  2. Tam giác $BCZ$ cân.

Câu 4. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x\leq 1,y\leq 2$ và $x+y+z=6$. Chứng minh rằng 

$$\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )\geq 4xyz.$$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#2 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 03-01-2015 - 09:42

Câu 1: Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix} \left ( x^2-y+2 \right )\left ( y^2-x+2 \right )=0\\ x+y+3=3\sqrt{2y-1} \end{matrix}\right.$$

 

 

Solution 1.

We have: $\begin{bmatrix} x=y^2+2\\ y=x^2+2 \end{bmatrix}$

Case 1/

$x=y^2+2\Rightarrow y^2+y+5=3.\sqrt{(2y-1).1}\leq 3.y\Leftrightarrow (y-1)^2+4\leq 0\rightarrow \boldsymbol{False}$

Case 2/

$y=x^2+2\Rightarrow x^2+x+5=3.\sqrt{2x^2+3}\Rightarrow (x^2+4x-1)(1+\frac{3}{x-2+\sqrt{2x^2+3}})=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-2\pm \sqrt{5}\\ 1+\frac{3}{x-2+\sqrt{2x^2+3}} \end{bmatrix}$

End prove

 

P/s: TL: Lần sau gửi bài dùng tiếng việt nhá . Mình không phải việt Kiều 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 03-01-2015 - 09:44

Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#3 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 03-01-2015 - 21:25

 

Câu 4. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x\leq 1,y\leq 2$ và $x+y+z=6$. Chứng minh rằng 

$$\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )\geq 4xyz.$$

 

Solution 4/ DdT 's idea :D

We have: $6=x+y+z=x+\frac{y}{2}.2+\frac{z}{3}.3\geq 6.\sqrt[6]{\frac{xy^2z^3}{108}}\Rightarrow xyz\leq 6$

So, prove that: $LHS=\prod (x+1)\geq 4\prod x\Leftrightarrow LHS\geq 2\sqrt{x}.3\sqrt[3]{\frac{y^2}{4}}.\sqrt[4]{\frac{y^3}{27}}=24.\sqrt[12]{\frac{x^6y^8.z^9}{4^4.27^3}}\geq 4\prod x\Leftrightarrow xyz\leq 6\rightarrow \boldsymbol{True}$

$(Q.E.D)$


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#4 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 03-01-2015 - 21:44

Câu 4. Sử dụng hàm bậc nhất đánh giá : 

$\prod \left ( x+1 \right )\geq 4xyz\Leftrightarrow \left ( xy+x+y+1 \right )\left ( 7-x-y \right )-4xy(6-x-y)\geq 0$

Ta có : $f(x)=\left ( xy+x+y+1 \right )\left ( 7-x-y \right )-4xy(6-x-y)\geq 0$ vì $0< x\leq 1$

Ta có : $f(0)=\left ( y+1 \right )\left ( 7-y \right )\geq 0$ vì $0< y\leq 2$

$f(1)=\left ( 2y+2 \right )\left ( 6-y \right )-4y(5-y)=(y-2)(y-3)\geq 0$ vì $0< y\leq 2$

$\Rightarrow f(x)\geq 0\Rightarrow dpcm$

 

Solution 4/ DdT 's idea :D

We have: $6=x+y+z=x+\frac{y}{2}.2+\frac{z}{3}.3\geq 6.\sqrt[6]{\frac{xy^2z^3}{108}}\Rightarrow xyz\leq 6$

So, prove that: $LHS=\prod (x+1)\geq 4\prod x\Leftrightarrow LHS\geq 2\sqrt{x}.3\sqrt[3]{\frac{y^2}{4}}.\sqrt[4]{\frac{y^3}{27}}=24.\sqrt[12]{\frac{x^6y^8.z^9}{4^4.27^3}}\geq 4\prod x\Leftrightarrow xyz\leq 6\rightarrow \boldsymbol{True}$

$(Q.E.D)$

 . Mình chỉ góp ý , mong bạn không nên dùng tiếng anh. 


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#5 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 23-02-2015 - 15:30

Câu hình là 1 trong các ứng dụng đẹp của phương tích với đường tròn điểm, đã có tại đây

 

http://www.artofprob...p?f=47&t=459501



#6 NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 346 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\text{K50}}\sim \boxed{\text{CSP}}$

Đã gửi 23-12-2016 - 09:17

Bổ đề(Định lý Babbage)

                             Cho $p$ nguyên tố lẻ ;$a \leq b$ nguyên dương

           Khi đó: $C_{ap}^{bp}\equiv C_{a}^{b}\left ( mod p^{2} \right )$

Áp dụng bổ đề trên ta có:

 $C_{2pk}^{2p}\equiv C_{2k}^{2}\equiv \frac{\left ( 2k \right )!}{2!\left ( 2k-2 \right )!}\equiv k\left ( 2k-1 \right )\left ( mod p \right )$

Từ đó có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 25-12-2016 - 22:43

$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#7 Maytroi

Maytroi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết

Đã gửi 22-05-2017 - 20:05

Bổ đề(Định lý Babbage)

                             Cho $p$ nguyên tố lẻ ;$a \leq b$ nguyên dương

           Khi đó: $C_{ap}^{bp}\equiv C_{a}^{b}\left ( mod p^{2} \right )$

 có chứng minh của định lý không ạ


:ph34r:người đàn ông bí ẩn :ninja:


#8 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-05-2017 - 23:55

 có chứng minh của định lý không ạ

 

Áp dụng định lý Vandermonde. Btw không biết nyc làm có tốt không nữa :P


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamNMP01: 28-05-2017 - 23:55


#9 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-05-2017 - 00:06

Ở bài toán trên :)))). Thay số 1 bởi số 3 câu chuyện thú vị hơn nhiều ( $p^3$ ).

 

Làm luôn vì nhân thể nyc hỏi mình bài này :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamNMP01: 29-05-2017 - 00:10


#10 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1021 Bài viết

Đã gửi 17-02-2020 - 12:49

KHÓ






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh