Đến nội dung

Hình ảnh

$P =4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+9d^{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
dungtran14

dungtran14

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Giả sử $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn: $abc+bcd+cad+bad=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P=$4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+9d^{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 18-01-2015 - 00:35

Keep claim to hold the light that never comes


#2
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Giả sử $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn: $abc+bcd+cad+bad=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P=$4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+9d^{3}$

AM-GM

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{k^2}(a^3+b^3+c^3)\geq \frac{3abc}{k^2} & & & & \\ d^3+\frac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}\geq 3\frac{abd}{k^2}& & & & \\ d^3+\frac{b^3}{k^3}+\frac{c^3}{k^3}\geq 3\frac{bcd}{k^2}& & & & \\ d^3+\frac{a^3}{k^3}+\frac{c^3}{k^3}\geq \frac{3acd}{k^2} & & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 3d^3+(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2})(a^3+b^3+c^3)\geq \frac{3}{k^2}(abc+bcd+cad+dab)\rightarrow 9d^3+3(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2})(a^3+b^3+c^3)\geq \frac{9}{k^2}$

Vậy ta tìm k cần phải thỏa mãn $\Rightarrow 3(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2})=4\Leftrightarrow 4k^3-3k-6=0$

Đặt $k=\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})\Rightarrow \frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})^3-\frac{3}{2}(a+\frac{1}{a})=6\Leftrightarrow a^6-12a^3+1=0\Leftrightarrow a=\sqrt[3]{6\pm 35}\Rightarrow k=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})$

Vậy GTNN của BT là $\frac{9}{k^2}=\frac{36}{(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})^2}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh