Chủ đề này có 21 trả lời

[Phuong Mark]

Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}.a+b+c=3:crm.$

$\dfrac{a}{5b+c^3}+\dfrac{b}{5c+a^3}+\dfrac{c}{5a+b^3} \geq \dfrac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Mark: 04-01-2015 - 10:41

[nhungvienkimcuong]

Cho $a,b\in \mathbb{R}.a+b+c=3:crm.$

$\dfrac{a}{5b+c^3}+\dfrac{b}{5c+a^3}+\dfrac{c}{5a+b^3} \geq \dfrac{1}{2}$

mong chị xem lại

 

U-Th

[khanghaxuan]

mong chị xem lại

 

U-Th

 

Cho $a,b\in \mathbb{R}.a+b+c=3:crm.$

$\dfrac{a}{5b+c^3}+\dfrac{b}{5c+a^3}+\dfrac{c}{5a+b^3} \geq \dfrac{1}{2}$

Hình như chỗ đỏ đó chỉ là $ R^{+}$ thôi nhé ! 

[killerdark68]

Cho $a,b\in \mathbb{R}.a+b+c=3:crm.$

$\dfrac{a}{5b+c^3}+\dfrac{b}{5c+a^3}+\dfrac{c}{5a+b^3} \geq \dfrac{1}{2}$

đề bài là R+ hay hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi killerdark68: 04-01-2015 - 09:34

[dogsteven]

áp dụng $Schwarz$ co

$\sum \frac{a}{5b+c^3}\geq \frac{(\sum a)^2}{5(\sum a)+\sum a^3}\geq \frac{(\sum a)^2}{5(\sum a)+\sum \left | a^3 \right |}$

(vì $\left | a^3 \right |\geq a^3$)

$AM-GM: \left | a^3 \right |+2\geq 3\left | a \right |\geq 3a$

cmtt suy ra thay so vao dpcm

DTXR khi a=b=c=1

 

Thứ nhất nếu $\mathbb{R}$ thì chưa chắc Scwarz được mà Schwarz cũng chả đúng.

Thứ 2 $a^3+2 \ge 3a$ thì mẫu bị ngược dấu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 04-01-2015 - 09:41

[Phuong Mark]

mong chị xem lại

 

U-Th

 

Hình như chỗ đỏ đó chỉ là $ R^{+}$ thôi nhé ! 

 

đề bài là R+ hay hơn

 

Thứ nhất nếu $\mathbb{R}$ thì chưa chắc Scwarz được mà Schwarz cũng chả đúng.

Thứ 2 $a^3+2 \ge 3a$ thì mẫu bị ngược dấu.

sorry m.n.........em viết nhầm đề ......đã sửa

[dogsteven]

Em có ý này:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$\sum \dfrac{a}{5b+c^3} \geqslant \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{5(a^3b+b^3b+c^3a)+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3} \geqslant \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{5(a^2+b^2+c^2)^2+3(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)}$$

Vì vậy mà ta cần chứng minh: $(a^2+b^2+c^2)^2 \geqslant 3(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)$

Đặt $(p,q,r)=(a+b+c=3, ab+bc+ca, abc)$. Bất đẳng thức trở thành:

$$(3-p)(3p^2+5p+51) \geqslant 9[(r-1)(r+1)+3(3-qr)]$$

 

Đến đây có lẽ dễ đánh giá.

P/s: Mới coi lại hướng này thấy không ổn cho lắm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 04-01-2015 - 11:00

[Phuong Mark]

Em có ý này:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$\sum \dfrac{a}{5b+c^3} \geqslant \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{5(a^3b+b^3b+c^3a)+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3} \geqslant \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{5(a^2+b^2+c^2)^2+3(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)}$$

Vì vậy mà ta cần chứng minh: $(a^2+b^2+c^2)^2 \geqslant 3(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)$

Đặt $(p,q,r)=(a+b+c=3, ab+bc+ca, abc)$. Bất đẳng thức trở thành:

$$(3-p)(3p^2+5p+51) \geqslant 9[(r-1)(r+1)+3(3-qr)]$$

 

Đến đây có lẽ dễ đánh giá.

P/s: Mới coi lại hướng này thấy không ổn cho lắm.

cách của bạn  hay thiệt ......... nhưng mình còn một ý tưởng mà đến đó thì không biết làm........mong m.n chỉ giáo.

Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}.a+b+c=3:crm.$

$\dfrac{a}{5b+c^3}+\dfrac{b}{5c+a^3}+\dfrac{c}{5a+b^3} \geq \dfrac{1}{2}$

Ta có:$\sum\frac{a^2}{a(5b+c^3)}\sum a(5b+c^3)\geq (a+b+c)^2$

$\to \frac{(a+b+c)^2}{5(ab+bc+ca)+(ac^3+ba^3+cb^3)}\geq\frac{1}{2}$

vậy thì làm sao nữa ạ?!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Mark: 04-01-2015 - 11:07

[binhnhaukhong]

cách của bạn  hay thiệt ......... nhưng mình còn một ý tưởng mà đến đó thì không biết làm........mong m.n chỉ giáo.

Ta có:$\sum\frac{a^2}{a(5b+c^3)}\sum a(5b+c^3)\geq (a+b+c)^2$

$\to \frac{(a+b+c)^2}{5(ab+bc+ca)+(ac^3+ba^3+cb^3)}\geq\frac{1}{2}$

vậy thì làm sao nữa ạ?!

 

cách của bạn  hay thiệt ......... nhưng mình còn một ý tưởng mà đến đó thì không biết làm........mong m.n chỉ giáo.

Ta có:$\sum\frac{a^2}{a(5b+c^3)}\sum a(5b+c^3)\geq (a+b+c)^2$

$\to \frac{(a+b+c)^2}{5(ab+bc+ca)+(ac^3+ba^3+cb^3)}\geq\frac{1}{2}$

vậy thì làm sao nữa ạ?!

Đến đấy chắc phải dùng đến kết quả này bạn...

Với mọi $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$ ta có:

$a^kb+b^kc+c^ka\leq3$.Cái này đã được nói đến trong quyển Sáng tạo bất đẳng thức 

[Phuong Mark]

 

Đến đấy chắc phải dùng đến kết quả này bạn...

Với mọi $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$ ta có:

$a^kb+b^kc+c^ka\leq3$.Cái này đã được nói đến trong quyển Sáng tạo bất đẳng thức 

 

oh ! thanks you

[dogsteven]

 

Đến đấy chắc phải dùng đến kết quả này bạn...

Với mọi $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$ ta có:

$a^kb+b^kc+c^ka\leq3$.Cái này đã được nói đến trong quyển Sáng tạo bất đẳng thức 

 

 

Chỉ cần lấy $k=3$, $a=2, b=1, c=0$ là sai rồi.

[khanghaxuan]

 

Đến đấy chắc phải dùng đến kết quả này bạn...

Với mọi $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$ ta có:

$a^kb+b^kc+c^ka\leq3$.Cái này đã được nói đến trong quyển Sáng tạo bất đẳng thức 

 

Cái này dấu ''='' hình như không xảy ra tại $x=y=z$

[khanghaxuan]

Chỉ cần lấy $k=3$, $a=2, b=1, c=0$ là sai rồi.

 

 

Đến đấy chắc phải dùng đến kết quả này bạn...

Với mọi $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$ ta có:

$a^kb+b^kc+c^ka\leq3$.Cái này đã được nói đến trong quyển Sáng tạo bất đẳng thức 

 

Cái điều kiện $a+b+c=3$  phải đổi thành :   $a+b+c=1$

[binhnhaukhong]

Chỉ cần lấy $k=3$, $a=2, b=1, c=0$ là sai rồi.

Mình chỉ thấy nêu kết quả là :

$a^kb+b^kc+c^ka\leq max (3,\frac{3^{k+1}.k^k}{(k+1)^{k+1}})$

Mà hình như $k$ có điều kiện

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 04-01-2015 - 15:27

[khanghaxuan]

 

Mình chỉ thấy nêu kết quả là :

$a^kb+b^kc+c^ka\leq max (3,\frac{3^{k+1}.k^k}{(k+1)^{k+1}})$

Mà hình như $k$ có điều kiện

 

ĐK :  $k\geq 2$

[khanghaxuan]

Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}.a+b+c=3:crm.$

$\dfrac{a}{5b+c^3}+\dfrac{b}{5c+a^3}+\dfrac{c}{5a+b^3} \geq \dfrac{1}{2}$

Mình nghĩ ý tưởng bài này là :   Làm trội bất đẳng thức . 

Có nghĩa là :   Dấu ''='' của bài này đạt tại   $a=b=\frac{3}{4} , c=\frac{3}{2}$  và các hoán vị .

Bài này để làm được tại dấu '' = '' như trên thì dùng dồn biến để chứng minh kết hợp với nguyên lý thứ tự .    

P/s : Cái GTNN không được đẹp nhé !  

[binhnhaukhong]

Mình nghĩ ý tưởng bài này là :   Làm trội bất đẳng thức . 

Có nghĩa là :   Dấu ''='' của bài này đạt tại   $a=b=\frac{3}{4} , c=\frac{3}{2}$  và các hoán vị .

Bài này để làm được tại dấu '' = '' như trên thì dùng dồn biến để chứng minh kết hợp với nguyên lý thứ tự .    

P/s : Cái GTNN không được đẹp nhé !  

http://www.wolframal...a^3)+c/(5a+b^3)

Mình thấy dấu bằng xảy ra tại tâm mà.

[dogsteven]

http://www.wolframal...a^3)+c/(5a+b^3)

Gõ thế mới đúng.

[dogsteven]

Nhầm link

http://www.wolframal...>0;c>0;a+b+c=3}

[Phuong Mark]

mới tìm thấy cái bài này nhưng cái  ý tưởng ban đầu giống  mình và cái cách làm bên dưới dài sợ thật.