Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a+b+c=1(a,b,c>0). Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\sqrt[3]{(\frac{1}{ab}-1)(\frac{1}{bc}-1)(\frac{1}{ac}-1)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
rikimaru

rikimaru

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\sqrt[3]{(\frac{1}{ab}-1)(\frac{1}{bc}-1)(\frac{1}{ac}-1)}$



#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\sqrt[3]{(\frac{1}{ab}-1)(\frac{1}{bc}-1)(\frac{1}{ac}-1)}$

Cần tìm GTNN của $\sqrt[3]{P},P=\frac{(1-ab)(1-bc)(1-ca)}{(abc)^2}$

Ta có $1-ab\geqslant 1-\frac{(a+b)^2}{4}=(1-\frac{a+b}{2})(1+\frac{a+b}{2})=\frac{(a+b+2c)(3a+3b+2c)}{4}\geqslant \frac{4\sqrt[4]{abc^2}.8\sqrt[8]{a^3b^3c^2}}{4}=8\sqrt[8]{a^5b^5c^6}$

Tương tự ta có

      $P=\frac{\prod (1-ab)}{(abc)^2}\geqslant \frac{8^3\prod \sqrt[8]{a^5b^5c^6}}{(abc)^2}=8^3$

Vậy $A \geqslant 8$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh