Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\sqrt[3]{(\frac{1}{ab}-1)(\frac{1}{bc}-1)(\frac{1}{ac}-1)}$
Cho a+b+c=1(a,b,c>0). Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\sqrt[3]{(\frac{1}{ab}-1)(\frac{1}{bc}-1)(\frac{1}{ac}-1)}$
Bắt đầu bởi rikimaru, 04-01-2015 - 17:06
#1
Đã gửi 04-01-2015 - 17:06
#2
Đã gửi 06-01-2015 - 13:40
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\sqrt[3]{(\frac{1}{ab}-1)(\frac{1}{bc}-1)(\frac{1}{ac}-1)}$
Cần tìm GTNN của $\sqrt[3]{P},P=\frac{(1-ab)(1-bc)(1-ca)}{(abc)^2}$
Ta có $1-ab\geqslant 1-\frac{(a+b)^2}{4}=(1-\frac{a+b}{2})(1+\frac{a+b}{2})=\frac{(a+b+2c)(3a+3b+2c)}{4}\geqslant \frac{4\sqrt[4]{abc^2}.8\sqrt[8]{a^3b^3c^2}}{4}=8\sqrt[8]{a^5b^5c^6}$
Tương tự ta có
$P=\frac{\prod (1-ab)}{(abc)^2}\geqslant \frac{8^3\prod \sqrt[8]{a^5b^5c^6}}{(abc)^2}=8^3$
Vậy $A \geqslant 8$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
- PolarBear154 và Hoang Long Le thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh