Chủ đề này có 2 trả lời

[yeutoanmaimai1]

cho tam giác ABC có $\widehat{B}-\widehat{C}=90^{\circ}$ AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. a, chứng minh AD//BC. b, c/m đường cao AA' của tam giác ABC là tiếp tuyến của đường tròn trên. c, chứng minh $\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{AA'^{2}}$

[yeutoanmaimai1]

ai giúp mình với

[Hoang Long Le]

cho tam giác ABC có $\widehat{B}-\widehat{C}=90^{\circ}$ AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. a, chứng minh AD//BC. b, c/m đường cao AA' của tam giác ABC là tiếp tuyến của đường tròn trên. c, chứng minh $\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{AA'^{2}}$

Bạn tự vẽ hình nhé, mình ko biết post hình

a) ACD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn$\Rightarrow \widehat{ACD}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{BCD}=\widehat{ACB}+90^{\circ}=\widehat{ABC}$

Mặt khác, tứ giác ABCD nội tiếp nên $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{BAD}+\widehat{ABC}=180^{\circ}\Rightarrow BC//AD$

b) $AA'\perp BC\Rightarrow AA'\perp AD$  nên AA' là tiếp tuyến

c) AD//BC nên ABCD là hình thang mà lại có $\widehat{BCD}=\widehat{ABC}$ theo c/m câu a

suy ra ABCD là hình thang cân $\Rightarrow$ AB=CD

Kẻ CH vuông góc AD thì AA'CH là hình chữ nhật $\Rightarrow$ AA'=CH

Áp dụng hệ thức lượng ta có: $\frac{1}{AA'^2}=\frac{1}{CH^2}=\frac{1}{CD^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 04-01-2015 - 22:23