Chủ đề này có 6 trả lời

[vutung97]

Cho a,b,c không âm, tổng bằng 3 CMR:

1. $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{a^{2}+2bc}+\frac{3}{b^{2}+2ac}+\frac{3}{c^{2}+2ab}$$

2.$$4-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq abc$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutung97: 04-01-2015 - 22:31

[dogsteven]

Bài toán 2:

Bất đẳng thức đầu tương đương với: $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leqslant \dfrac{4}{27}(a+b+c)^3$

Hướng 1: Đặt $(x,y,z)=(a+t,b+t,c+t)$ với $t\geqslant -c=-\text{min}\{a,b,c\}\leqslant 0$ $f(t)=F(x,y,z)=27(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)-4(x+y+z)^3$

$f'(t)=9(xy+yz+zx-x^2-y^2-z^2)\leqslant 0\Rightarrow f(0)\leqslant f(-c)\Leftrightarrow F(a,b,c)\leqslant F(a-c,b-c,0)$

Do đó ta cần chứng minh khi $c=0$ hay là chứng minh $27a^2b\geqslant 4(a+b)^2$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $27a^2b \leqslant \dfrac{27}{2}.\dfrac{(a+a+2b)^3}{27}=4(a+b)^3$

Hướng 2: Giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$ thì $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leqslant b(a^2+2ac+c^2)=b(a+c)^2 \leqslant \dfrac{1}{2}.\dfrac{(2b+a+c+a+c)^3}{27}=\dfrac{4}{27}(a+b+c)^3$

 

[tunglamlqddb]

Bài toán 2:
Bất đẳng thức đầu tương đương với: $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leqslant \dfrac{4}{27}(a+b+c)^3$
Hướng 1: Đặt $(x,y,z)=(a+t,b+t,c+t)$ với $t\geqslant -c=-\text{min}\{a,b,c\}\leqslant 0$ $f(t)=F(x,y,z)=27(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)-4(x+y+z)^3$
$f'(t)=9(xy+yz+zx-x^2-y^2-z^2)\leqslant 0\Rightarrow f(0)\leqslant f(-c)\Leftrightarrow F(a,b,c)\leqslant F(a-c,b-c,0)$
Do đó ta cần chứng minh khi $c=0$ hay là chứng minh $27a^2b\geqslant 4(a+b)^2$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $27a^2b \leqslant \dfrac{27}{2}.\dfrac{(a+a+2b)^3}{27}=4(a+b)^3$
Hướng 2: Giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$ thì $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leqslant b(a^2+2ac+c^2)=b(a+c)^2 \leqslant \dfrac{1}{2}.\dfrac{(2b+a+c+a+c)^3}{27}=\dfrac{4}{27}(a+b+c)^3$

Bạh có thể giải thích hộ mình b nằm giữa a và c la như nào ko? Và khi nào mình đc giả sử như thế? Nếu đc bạn lấy vd cho mình luôn nhé!

[dogsteven]

Bạh có thể giải thích hộ mình b nằm giữa a và c la như nào ko? Và khi nào mình đc giả sử như thế? Nếu đc bạn lấy vd cho mình luôn nhé!

 

$b$ nằm giữa $a$ và $c$ nghĩa là hoặc $b\in [a,c]$ hoặc $b\in [c,a]$ nếu $a\ne c$ và $a=b=c$ nếu $a=c$

$a=1, b=2, c=3$ là một ví dụ. $c=0, b=7, a=7.1$ cùng là một ví dụ.

[buiminhhieu]

Phân náy lá bất đẳng thức hoán vi. Ban tham khảo trong sách STBĐT trang 59.

[longatk08]

 

Bất đẳng thức đầu tương đương với: $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leqslant \dfrac{4}{27}(a+b+c)^3$

Hướng 1: Đặt $(x,y,z)=(a+t,b+t,c+t)$ với $t\geqslant -c=-\text{min}\{a,b,c\}\leqslant 0$ $f(t)=F(x,y,z)=27(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)-4(x+y+z)^3$

$f'(t)=9(xy+yz+zx-x^2-y^2-z^2)\leqslant 0\Rightarrow f(0)\leqslant f(-c)\Leftrightarrow F(a,b,c)\leqslant F(a-c,b-c,0)$

Do đó ta cần chứng minh khi $c=0$ hay là chứng minh $27a^2b\geqslant 4(a+b)^2$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $27a^2b \leqslant \dfrac{27}{2}.\dfrac{(a+a+2b)^3}{27}=4(a+b)^3$

 

Hướng 1 này sử dụng phương pháp gì thế bạn?Tại sao lại chỉ cần xét khi c=0 bạn ơi?

[buiminhhieu]

Cho a,b,c không âm, tổng bằng 3 CMR:

1. $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{a^{2}+2bc}+\frac{3}{b^{2}+2ac}+\frac{3}{c^{2}+2ab}$$

2.$$4-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq abc$$

$\sum \frac{3}{a}=\sum \frac{a+b+c}{a}=\sum (\frac{a^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{bc}+\frac{c^{2}}{bc})\geq \sum \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+2bc}$

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \sum \frac{3}{a^{2}+2bc}$

Dấu "=" khi $a=b=c=1$