Đến nội dung

Hình ảnh

Đường tròn $( C )$ đi qua $A$, $P$ và tiếp xúc với $(O)$ cắt đường tròn $(C')$ đi qua $A'$, $P$ và tiếp xúc với $(O)$ tại $A'

- - - - - định lý ceva định lý menelaus hàng điểm điều hòa

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 336 Bài viết
Cho đường tròn $(O)$ và hai dây cung thay đổi $AA'$, $BB'$ vuông góc với nhau tại $P$ cố định khác $O$. $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $P$ đến $AB$.
a) Chứng minh $PH$ đi qua trung điểm I của $A'B'$ và $PH.PI$ là một hằng số.
b) Đường tròn $( C )$ đi qua $A$, $P$ và tiếp xúc với $(O)$ cắt đường tròn $(C')$ đi qua $A'$, $P$ và tiếp xúc với $(O)$ tại $A'$. Gọi $M$ là giao điểm thứ hai của $( C )$ và $(C')$. Tìm quỹ tích $M$.

$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#2
vkhoa

vkhoa

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 933 Bài viết
a)Gọi J là giao của PH và A'B'
Ta có $\widehat{JPA'} =\widehat{HPA} =\widehat{ABP}$
$=\widehat{PA'J}$
=>JP =JA'
chứng minh tương tự JP =JB'
=>JA' =JB' =>J trùng I
=>PH đi qua I
Ta có $\triangle PHA \sim\triangle A'PB'$ (vì $\widehat{PAH} =\widehat{A'B'P}$ và có 1 g vuông)
=>$\frac{HP}{PA'} =\frac{PA}{A'B'}$
<=>PH .A'B' =PA .PA' =phương tích (P,(O)) không đổi
=>PH. 2 .PI không đổi =>PH .PI không đổi 
b)Có O, C, A thẳng hàng, có O, C', A' thẳng hàng
OP cắt CC' tại E, PM cắt CC' tại D
$\widehat{CPA} =\widehat{CAA'} =\widehat{OA'A}$
=>OA' //CP
chứng minh tương tự OA //C'P
suy ra OCPC' là hinh bình hành
=>E là trung điểm OP, mà D trung điểm PM
=>OM //ED //CC' 
mà CC' vuông góc PM =>$\widehat{PMO} =90^\circ$
=>M di động trên đường tròn đường kính OP

Hình gửi kèm

  • Đường tròn (C) đi qua A, P và tiếp xúc với (O) cắt đường tròn (C2) đi qua A2, P và tiếp xúc với (O) tại $A2.png






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: định lý ceva, định lý menelaus, hàng điểm điều hòa

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh