Bài toán : Chứng minh rằng từ $n+1$ số bất kì trong $2n$ số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau.
Chứng minh rằng từ $n+1$ số bất kì trong $2n$ số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau.
#1
Đã gửi 06-01-2015 - 16:24
- nhungvienkimcuong yêu thích
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
(FRANZ BECKEN BAUER)
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
#2
Đã gửi 11-02-2015 - 07:19
Bài toán : Chứng minh rằng từ $n+1$ số bất kì trong $2n$ số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau.
Sửa lại đề : "Chứng minh rằng từ $n+1$ số bất kỳ trong $2n$ số NGUYÊN DƯƠNG đầu tiên ($n\geqslant 1$) luôn tìm được ..."
GIẢI :
Giả sử trong $2n$ số nguyên dương đầu tiên có đúng $m$ số nguyên tố là $p_{1},p_{2},...,p_{m}$.Dễ chứng minh được rằng $m\leqslant n$.
Chia $2n$ số nguyên dương đó thành $m+1$ tập con (có thể giao nhau) $A_{0},A_{1},A_{2},...,A_{m}$, trong đó :
$A_{0}=\left \{ 1 \right \}$
$A_{i}$ ($1\leqslant i\leqslant m$) gồm $p_{i}$ và tất cả các bội của nó trong $2n$ số nguyên dương đầu tiên.
Xét 2 TH :
$a)$ $m< n$ :
Khi đó $m+1< n+1\Rightarrow$ trong $n+1$ số bất kỳ (chọn trong $2n$ số đó) chắc chắn có $2$ số thuộc cùng 1 tập con và là bội của nhau, đó là 2 số cần tìm.
$b)$ $m=n$ :
+ Nếu trong $n+1$ số đó có số $1$ (thuộc tập $A_{0}$) thì đpcm là hiển nhiên.
+ Nếu trong $n+1$ số đó không có số nào thuộc tập $A_{0}$ thì chúng chỉ nằm trong $m$ tập con còn lại.
Vì $m<n+1$ nên có ít nhất 2 số (trong $n+1$ số đó) thuộc cùng 1 tập con và là bội của nhau, đó là 2 số cần tìm.
Như vậy, trong mọi TH, luôn tìm được 2 số là bội của nhau từ $n+1$ số bất kỳ chọn trong $2n$ số nguyên dương đầu tiên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 16-02-2015 - 06:40
- caybutbixanh, nhungvienkimcuong và PhanTrungHieubruh thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 11-02-2015 - 20:51
Bài toán : Chứng minh rằng từ $n+1$ số bất kì trong $2n$ số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau.
Viết $n+1$ số đã cho dưới dạng :
$a_1=2^{k_1}b_1, a_2=2^{k_2}b_2,..., a_{n+1}=2^{k_{n+1}}b_{n+1}$
Trong đó $b_1,b_2,...,b_{n+1}$ là các số lẻ
Ta có : $1\leq b_1,b_2,...,b_{n+1}\leq 2n-1$
Mặt khác trong khoảng từ $1$ đến $2n-1$ có đúng $n$ số lẻ nên tồn tại hai số $m\leq n$ sao cho $b_m=b_n$
Khi đó trong hai số $a_n$ và $a_m$ có một số là bội số của số kia
- huyentom, chanhquocnghiem, nhungvienkimcuong và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 12-02-2015 - 11:10
Viết $n+1$ số đã cho dưới dạng :
$a_1=2^{k_1}b_1, a_2=2^{k_2}b_2,..., a_{n+1}=2^{k_{n+1}}b_{n+1}$
Trong đó $b_1,b_2,...,b_{n+1}$ là các số lẻ
Ta có : $1\leq b_1,b_2,...,b_{n+1}\leq 2n-1$
Mặt khác trong khoảng từ $1$ đến $2n-1$ có đúng $n$ số lẻ nên tồn tại hai số $m\leq n$ sao cho $b_m=b_n$
Khi đó trong hai số $a_n$ và $a_m$ có một số là bội số của số kia
Có một điểm hạn chế trong bài của bạn : dãy $(a_n)$ tất cả đều là số chẵn mà trong khi đó đề là các số bất kỳ.....
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
(FRANZ BECKEN BAUER)
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh