Chủ đề này có 4 trả lời

[dungn0inua]

Cho \[a,b > 0\].CMR

\[\frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{{14}}{{{{(a + b)}^2}}}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dungn0inua: 06-01-2015 - 20:01

[haidoan3899]

 

Cho \[a,b > 0\].CMR

\[\frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{{14}}{{{{(a + b)}^2}}}\]

 

Áp dụng BĐT AM -GM ta có 

$\large \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq\frac{2}{ab}$

Cần chứng minh $\large \frac{3}{a^2+b^2}+ \frac{2}{ab}\geq \frac{14}{(a+b)^2}$

$\large \Leftrightarrow \frac{3}{a^2+b^2}+\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}\geq\frac{14}{(a+b)^2}$ 

Lại có

  $\large \frac{3}{a^2+b^2}+\frac{3}{2ab}\geq\frac{3.2^2}{(a+b)^2}$

  $\large \frac{1}{2ab}\geq\frac{2}{(a+b)^2}$

Cộng vế 2 bất đẳng thức trên ta được ĐPCM

[dogsteven]

Từ các đẳng thức và bất đẳng thức sau:

$\dfrac{3}{a^2+b^2}-\dfrac{3}{2ab}=\dfrac{-3(a-b)^2}{2ab(a^2+b^2)}$

$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{2}{ab}=\dfrac{(a-b)^2}{(ab)^2}$

$\dfrac{14}{(a+b)^2}-\dfrac{14}{4ab}=\dfrac{-7(a-b)^2}{2ab(a+b)^2}$

$\dfrac{1}{ab}\geqslant \dfrac{2}{a^2+b^2}>\dfrac{3}{2(a^2+b^2)}$

Ta suy ra được: $VT-VP\geqslant \dfrac{3}{2ab}+\dfrac{2}{ab}-\dfrac{7}{2ab}=0$

[lethutang7dltt]

nhận thấy dấu "=" xảy ra <=>a=b=1.

Do đó: 

BĐT<=>$\left ( \frac{3}{a^{2}+b^{2}}-\frac{6}{(a+b)^{2}} \right )+\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}-\frac{8}{(a+b)^{2}} \right )\geqslant 0$

Sau đó phân tích tiếp để đặt ra ngoài $(a-b)^{2}$ ra ngoài và trong ngoặc là phayn thức vs tử và mẫu đều dương

[KietLW9]

 

Cho \[a,b > 0\].CMR

\[\frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{{14}}{{{{(a + b)}^2}}}\]

 

$VT-VP=\frac{(a-b)^2(a^4+b^4+4a^3b+4ab^3-a^2b^2)}{a^2b^2(a^2+b^2)(a+b)^2}\geqslant 0$