Chủ đề này có 1 trả lời

[chatditvit]

Cho tam giác ABC đều có diện tích bằng 1. Lấy M,N,P lần lượt là các điểm trên AB, CA, BC sao cho AM=CN=BP. Tìm vị trí của M, N, P để diện tích MNP là nhỏ nhất.

[Phung Quang Minh]

-Dễ dàng chứng minh được: AM=CN=BP; AN=CP=BM.

=> tam giác MAN=tam giác PBM(c.g.c) => MN=MP.

-Chứng minh tương tự, ta có: MN=PN. Suy ra tam giác MNP đều.

-Ta có: S(MNP) min <=> MN min (Do tam giác MNP đều).

-Lấy M';N' lầm lượt là trung điểm của AB;AC.

-Ta lại có: AM+AN=AM'+AN'. => MM'=NN'. 

-Kẻ MQ//NN' (Q thuộc M'N').MN cắt M'N' tại F.

-Dễ dàng chứng minh được tam giác QMF=tam giác N'NF(g.c.g). => MF=NF.

-Kẻ MH vuông góc với M'N"; NK vuông góc với M'N' (H;K thuộc M'N').

-Ta chứng minh được tam giác MM'H= tam giác NN'K(cạnh huyền-góc nhọn). => M'H=N'K => M'N'=HK.

-Mà MN>=HK. Suy ra MN>= M'N'.

-Suy ra min MN= M'N' (Dấu "=" xảy ra khi M là trung điểm của AB còn N là trung điểm của AC).

-Vậy S(MNP) nhỏ nhất khi M;N;P lần lượt là trung điểm của AB;AC;BC.