Chủ đề này có 3 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

Cho a,b,c dương thoả mãn abc=1.Chứng minh rằng:$\frac{a^3}{b(c+a)}+\frac{b^3}{c(a+b)}+\frac{c^3}{a(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

[dogsteven]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $\dfrac{a^3}{b(c+a)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4} \geqslant \dfrac{3}{2}a$

Tương tự với các thành phần còn lại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 07-01-2015 - 20:46

[huykinhcan99]

Đặt $P=\frac{a^3}{b(c+a)}+\frac{b^3}{c(a+b)}+\frac{c^3}{a(b+c)}$

 

Ta có:

\begin{equation} \label{eq:1} \tag{1} (a+b+c)^3=\left( \sum_{cyc} \dfrac{a}{\sqrt[3]{b(c+a)}}.\sqrt[6]{b(c+a)}.\sqrt[6]{b(c+a)} \right)^3 \end{equation}

 

Áp dụng bất đẳng thức $H\ddot{o}lder$ ta có:

\begin{align} & \left( \sum_{cyc} \dfrac{a}{\sqrt[3]{b(c+a)}}.\sqrt[6]{b(c+a)}.\sqrt[6]{b(c+a)} \right)^3  \leqslant P \left(\sum_{cyc} \sqrt {b\left( {c + a} \right)} \right) \left(\sum_{cyc} \sqrt {b\left( {c + a} \right)} \right)  \nonumber \\ \Leftrightarrow \ & \left( \sum_{cyc} \dfrac{a}{\sqrt[3]{b(c+a)}}.\sqrt[6]{b(c+a)}.\sqrt[6]{b(c+a)} \right)^3  \leqslant P \left(\sqrt {b\left( {c + a} \right)}+\sqrt {c\left( {a+ b} \right)}+\sqrt {a\left( {b + c} \right)} \right)^2 \label{eq:2} \tag{2} \end{align}

 

Lại áp dụng bất đẳng thức $Cauchy - Schwarz$ ta có:

\begin{equation} \label{eq:3} \tag{3} \left(\sqrt {b\left( {c + a} \right)} + \sqrt {c\left( {a + b} \right)} + \sqrt {a\left( {b + c} \right)}\right)^2\leqslant (1+1+1)\left(bc+ba+ca+cb+ab+ac\right)=6(ab+bc+ca) \end{equation}

 

Lại có:

\begin{align} &\frac{1}{2}(a-b)^2+\frac{1}{2}(b-c)^2+\frac{1}{2}(c-a)^2 \geqslant 0 \nonumber \\ \Leftrightarrow \ &a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca \nonumber \\ \Leftrightarrow \ &(a+b+c)^2 \geqslant 3(ab+bc+ca) \nonumber \\ \Rightarrow \ &6(ab+bc+ca)\leqslant 2(a+b+c)^2 \label{eq:4} \tag{4} \end{align}

 

\begin{align} \eqref{eq:1},\eqref{eq:2},\eqref{eq:3},\eqref{eq:4} &\Rightarrow (a+b+c)^3 \leqslant P .2(a+b+c)^2 \nonumber \\ & \Leftrightarrow \frac{a^3}{b(c+a)}+\frac{b^3}{c(a+b)}+\frac{c^3}{a(b+c)} \geqslant \frac{a+b+c}{2} \label{eq:5} \tag{5} \end{align}

 

Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ ta có:

\begin{equation} \label{eq:6} \tag{6} a+b+c \geqslant 3\sqrt[3]{abc}=3 \end{equation}

 

\begin{equation} \tag{$\blacksquare$} \eqref{eq:5}, \eqref{eq:6} \Rightarrow \frac{a^3}{b(c+a)}+\frac{b^3}{c(a+b)}+\frac{c^3}{a(b+c)} \geqslant \dfrac{3}{2} \end{equation}

 

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 07-01-2015 - 22:10

[Dinh Xuan Hung]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $\dfrac{a^3}{b(c+a)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4} \geqslant \dfrac{3}{2}a$

Tương tự với các thành phần còn lại.

Cách của bạn giống hệt cách mình