Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

VMO 2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 32 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 09-01-2015 - 02:18

Ngày thi thứ nhất.
Câu 1. Cho $a$ là một số thục không âm và $(u_n)$ là dãy số xác định bởi $$u_1=3,\, u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{n^2}{4n^2+a}\sqrt{u_n^2+3}\text{ với mọi } n\geq 1.$$

a) Với $a=0$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi $a\in[0,1]$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn.

Câu 2. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq(a+b+c)^2.$$

Câu 3. Cho số nguyên dương $K$. Tìm số tự nhiên $n$ không vượt quá $10^K$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $n$ chia hết cho 3
ii) các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n$ thuộc tập hợp $\{2, 0, 1, 5\}$.

Câu 4. Cho dường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C$ cố định trên $(O)$, $BC$ không là đường kính. Một điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B, C$ của tam giác $ABC$. Cho $(I)$ là đường tròn thay đổi đi qua $E, F$ và có tâm là $I$.

a) Giả sử $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại điểm $D$. Chứng ming rằng $\dfrac{DB}{DC}=\sqrt{\dfrac{\cot B}{\cot C}}.$
b) Giả sử $(I)$ cắt cạnh $BC$ tại hai điểm $M, N$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $P, Q$ là các giao điểm của $(I)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $P, Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại điểm $T$ ($T$ cùng phía $A$ đối với $PQ$). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $\widehat{MTN}$ đi qua một điểm cố định.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Near Ryuzaki: 09-01-2015 - 12:02

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 09-01-2015 - 11:08

Bài 4: (a) Câu này anh chép nhầm đề rồi. Phải là $\dfrac{BD}{CD}$.

Gọi đường cao $AA'$ và $S\equiv (I)\cap AB, R\equiv (I) \cap AC$

Khi đó $RS||BC \Rightarrow \dfrac{BD^2}{CD^2}=\dfrac{BF.BS}{CE.CR}=\dfrac{BF.BA}{CE.CA}=\dfrac{BA'}{CA'}=\dfrac{\cot B}{\cot C}$

(b) Xét trục đẳng phương của $(I), (FECB), (HBC), (TQP)$ thì tiếp tuyến tại $T$ của $(O)$, $EF, PQ$ và $BC$ đồng quy tại $U$

Khi đó để dàng chứng minh được $UT$ cũng là tiếp tuyến của $(TMN)$ và $(TM,TB)\equiv (TC,TN) \pmod{\pi}$ nên phân giác góc $NTM$ luôn đi qua điểm chính giữa cung $BC$ của (O) không chứa $A$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 09-01-2015 - 11:53

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 09-01-2015 - 11:14

Câu 2: $3(a^2+b^2+c^2)\geqslant (a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \Leftrightarrow \sum (\sqrt{b}-\sqrt{c})^2 \geqslant 0$

$ (a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geqslant (a+b+c)^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})-2(ab+bc+ca)\geqslant 2(ab+bc+ca)$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $ (a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})-2(ab+bc+ca)\geqslant (a+b+c)\left(\dfrac{2bc}{b+c}+\dfrac{2ca}{c+a}+\dfrac{2ab}{a+b}\right)-2(ab+bc+ca)=2abc.\sum \dfrac{1}{b+c}\geqslant \dfrac{9abc}{a+b+c}$

Do đó ta cần chứng minh: $a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}\geqslant 2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow (a-b)[a(a-c)-b(b-c)]+c(a-c)(b-c)\geqslant 0$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ thì $(a-b)[a(a-c)-b(b-c)]+c(a-c)(b-c)\geqslant (a-b)^2(b-c)\geqslant 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 09-01-2015 - 11:16

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#4 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 09-01-2015 - 11:53

Về bài hình ngày 1 http://analgeomatica...-2015-ngay.html



#5 Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Phương trình, hệ phương trình,hình giải tích phẳng.Giao lưu kết bạn trên facebook,nghe nhạc,ước mơ dạy học,...

Đã gửi 09-01-2015 - 12:07

Đề thi VMO ngày 2!Em lấy bên mathscope

Hình gửi kèm

  • vmo day 2.jpg

Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#6 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 09-01-2015 - 12:21

NGÀY 2
Bài 5: (7,0 điểm) Cho $(f_n(x))$ là dãy đa thức xác định bởi:
$f_0(x)=2,f_1(x)=3x,f_n(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x)$ với mọi $n\ge 2$. 
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $f_n(x)$ chia hết cho đa thức $x^3-x^2+x$.
 
Bài 6 (7 điểm). Với $a,n$ nguyên dương, xét phương trình $a^2x+6ay+36z=n$, trong đó $x,y,z$ là các số tự nhiên
a) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để với mọi $n\ge 250$, phương trình đã cho luôn có nghiệm $(x,y,z)$.
b) Biết rằng $a>1$ và nguyên tố cùng nhau với $6$. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ theo $a$ để phương trình đã cho không có nghiệm $(x,y,z)$.
 
Bài 7 (6 điểm) Cho $m$ học sinh nữ và $n$ học sinh nam $(m,n\ge 2)$ tham gia một Liên hoan Song ca. Tai Liên hoan song ca, mỗi buổi biểu diễn văn nghệ. Mỗi chương trình văn nghệ bao gồm một số bài song ca nam-nữ mà trong đó mỗi đôi nam-nữ chỉ hát với nhau không quá một bài và mỗi học sinh đều được hát ít nhất một bài. Hai chương trình được coi là khác nhau nếu có một cặp nam-nữ hát với nhau ở chương trình này nhưng không hát với nhau ở chương trình kia. Liên hoan Song cả chỉ kết thúc khi tất cả các chương trình khác nhau cỏ thế có đều được biểu diễn, mỗi chương trình được biểu diễn đúng một lần.
a) Một chương trình được gọi là lệ thuộc vào học sinh X nếu như hủy tất cả các bài song ca mà X tham gia thì có ít nhất một học sinh khác không được hát bài nào trong chương trình đó. Chứng minh rằng trong tất cả các chương trình lệ thuộc vào X thì số chương trình có số lẻ bài hát bằng số chương trình có số chẵn bài hát.
b) Chứng minh rằng Ban tổ chức Liên hoan có thể sắp xếp các buổi biểu diễn sao cho số các bài hát tại hai buổi biểu diễn liên tiếp bất kỳ không cùng tính chẵn lẻ.

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#7 mixtilinear23

mixtilinear23

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 09-01-2015 - 14:18

Khi nào có đáp án chính thức vậy ạ?

 

@namcpnh: Đề VMO mấy năm nay Bộ không cung cấp đáp án chính thức.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 09-01-2015 - 18:15


#8 duaconcuachua98

duaconcuachua98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Stamford Bridge

Đã gửi 09-01-2015 - 16:17

 

Ngày thi thứ nhất.

Câu 2. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq(a+b+c)^2.$$
 

$\star $ Ta có: $\sum \sqrt{ab}\leq \sqrt{3\left ( \sum ab \right )}$ 

Ta cần chứng minh $3\sum a^{2}\geq \left ( \sum a \right )\left ( \sqrt{3\left ( \sum ab \right )} \right )+\sum \left ( a-b \right )^{2}\Leftrightarrow \sum a^{2}\geq \left ( \sum a \right )\left ( \sqrt{3\left ( \sum ab \right )} \right )-2\sum ab\Leftrightarrow \left ( a+b+c \right )^{2}\geq (a+b+c)\left ( \sqrt{3(a+b+c)} \right )\Leftrightarrow \left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$ (luôn đúng)

$\star $ $\left ( \sum a \right )\left ( \sum \sqrt{ab} \right )+\sum \left ( a-b \right )^{2}\geq \left ( \sum a \right )^{2}\Leftrightarrow \left ( \sum a \right )\left ( \sum \sqrt{ab} \right )+\sum a^{2}\geq 4\sum ab$ $(1)$

Đặt $\left ( \sum x^{2} \right )\left ( \sum xy \right )+\sum x^{4}\geq 4\sum x^{2}y^{2}$ 

Đặt $\left\{\begin{matrix} p=x+y+z & \\ q=xy+yz+zx & \\ r=xyz & \end{matrix}\right.$

$(1)$ trở thành $\left ( p^{2}-2q \right )q+p^{4}-4p^{2}q+2q^{2}+4pr\geq 4(q^{2}-2pr)\Leftrightarrow p^{4}-3p^{2}q+12pr\geq 4q^{2}$

Mặt khác ta có bđt quen thuộc $4q^{2}\leq p^{2}q+3pr$ $(2)$

Theo bđt Schur ta có: $a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-c)(b-a)+c^{r}(c-a)(c-b)\geq 0$

Cho $r=1$ bđt Schur trở thành: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\Leftrightarrow p^{3}-4pq+9r\geq 0\Leftrightarrow p^{4}-4p^{2}q+9pr\geq 0$ $(3)$

Cộng theo vế $(2)$ và $(3)$ suy ra đpcm



#9 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2099 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-01-2015 - 18:28

Tình hình làm bài của các đội thế nào nhỉ ?  :)


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#10 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 09-01-2015 - 18:58

câu 1 ngày 2 dùng phuơng trình đặc trưng để tìm cttq của fn(x) rồi dùng số phức



#11 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 09-01-2015 - 19:02

 

Ngày thi thứ nhất.
Câu 1. Cho $a$ là một số thục không âm và $(u_n)$ là dãy số xác định bởi $$u_1=3,\, u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{n^2}{4n^2+a}\sqrt{u_n^2+3}\text{ với mọi } n\geq 1.$$

a) Với $a=0$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi $a\in[0,1]$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn.

Câu 2. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq(a+b+c)^2.$$

Câu 3. Cho số nguyên dương $K$. Tìm số tự nhiên $n$ không vượt quá $10^K$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $n$ chia hết cho 3
ii) các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n$ thuộc tập hợp $\{2, 0, 1, 5\}$.

Câu 4. Cho dường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C$ cố định trên $(O)$, $BC$ không là đường kính. Một điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B, C$ của tam giác $ABC$. Cho $(I)$ là đường tròn thay đổi đi qua $E, F$ và có tâm là $I$.

a) Giả sử $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại điểm $D$. Chứng ming rằng $\dfrac{DB}{DC}=\sqrt{\dfrac{\cot B}{\cot C}}.$
b) Giả sử $(I)$ cắt cạnh $BC$ tại hai điểm $M, N$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $P, Q$ là các giao điểm của $(I)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $P, Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại điểm $T$ ($T$ cùng phía $A$ đối với $PQ$). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $\widehat{MTN}$ đi qua một điểm cố định.
 

 

Bài 1 :  

 

a.  Với $a=0$ thì dãy viết lại như sau :         $\left\{\begin{matrix} u_{1}=3 & \\ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_{n}+\frac{1}{4}\sqrt{u^{2}_{n}+3} & \end{matrix}\right.$

 

     Th1:   $$u_{n}\in \begin{bmatrix} 1;\infty \end{bmatrix}$$  (**)

 

Xét  $u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{4}\sqrt{u^{2}_{n}+3}-\frac{u_{n}}{2}$ (*)

 

Giả sử $u_{n}$  là hàm tăng thì (*) $\Leftrightarrow \sqrt{u^{2}_{n}+3} >  2u_{n}\Leftrightarrow u_{n}<1$  ( vô lý ) 

 

nên $u_{n}$ là hàm giảm  mà kết hợp với (**) nên $u_{n}$ có giới hạn hữu hạn .   

 

Gọi    $lim u_{n}=L$   ,  chuyển qua giới hạn ta có :    $L=1$  nên    $lim u_{n}=1$

 

  Hiển nhiên ta có $u_{n}>0$ 

 

 Th2 :        $0< u_{n}\leq 1$ (***)  ,  tương tự như trên ta cũng chứng minh được  $u_{n}$ là hàm số tăng mà kết hợp với  (***)

 

ta được  $u_{n}$ tăng và bị chặn trên nên    $lim u_{n}=1$

 

b.         Th1 :   $u_{n}\in \begin{bmatrix} 1;\infty \end{bmatrix}$  ,  chứng minh tương tự câu a  nên dãy có giới hạn hữu hạn 

 

            Th2 :   $0 < u_{n}\leq 1 $  ta cũng sẽ chứng minh $u_{n}$ là hàm tăng như sau :      

 

Xét :  $u_{n+1}-u_{n}=\frac{n^{2}}{4n^{2}+a}\sqrt{u^{2}_{n}+3}-\frac{1}{2}u_{n}$

 

Sau đó sử dụng đánh giá  :   $a <1$  rồi đưa về biểu thức sau :   $u^{2}_{n}=\frac{12n^{4}}{12n^{4}+8n^{2}+1}<1 \rightarrow u_{n}<1$  (đúng )

 

nên $u_{n}$  tăng và bị chặn trên nên  $u_{n}$ có giới hạn hữu hạn 


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#12 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 09-01-2015 - 19:21

bạn khanghaxuan giải sai câu b rồi , dãy này chưa xác định đc tăng hay giảm 
câu a thì không cần phức tạp như vậy



#13 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 09-01-2015 - 19:22

Bài 1 :  

 

a.  Với $a=0$ thì dãy viết lại như sau :         $\left\{\begin{matrix} u_{1}=3 & \\ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_{n}+\frac{1}{4}\sqrt{u^{2}_{n}+3} & \end{matrix}\right.$

 

     Th1:   $$u_{n}\in \begin{bmatrix} 1;\infty \end{bmatrix}$$  (**)

 

Xét  $u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{4}\sqrt{u^{2}_{n}+3}-\frac{u_{n}}{2}$ (*)

 

Giả sử $u_{n}$  là hàm tăng thì (*) $\Leftrightarrow \sqrt{u^{2}_{n}+3} >  2u_{n}\Leftrightarrow u_{n}<1$  ( vô lý ) 

 

nên $u_{n}$ là hàm giảm  mà kết hợp với (**) nên $u_{n}$ có giới hạn hữu hạn .   

 

Gọi    $lim u_{n}=L$   ,  chuyển qua giới hạn ta có :    $L=1$  nên    $lim u_{n}=1$

 

  Hiển nhiên ta có $u_{n}>0$ 

 

 Th2 :        $0< u_{n}\leq 1$ (***)  ,  tương tự như trên ta cũng chứng minh được  $u_{n}$ là hàm số tăng mà kết hợp với  (***)

 

ta được  $u_{n}$ tăng và bị chặn trên nên    $lim u_{n}=1$

 

b.         Th1 :   $u_{n}\in \begin{bmatrix} 1;\infty \end{bmatrix}$  ,  chứng minh tương tự câu a  nên dãy có giới hạn hữu hạn 

 

            Th2 :   $0 < u_{n}\leq 1 $  ta cũng sẽ chứng minh $u_{n}$ là hàm tăng như sau :      

 

Xét :  $u_{n+1}-u_{n}=\frac{n^{2}}{4n^{2}+a}\sqrt{u^{2}_{n}+3}-\frac{1}{2}u_{n}$

 

Sau đó sử dụng đánh giá  :   $a <1$  rồi đưa về biểu thức sau :   $u^{2}_{n}=\frac{12n^{4}}{12n^{4}+8n^{2}+1}<1 \rightarrow u_{n}<1$  (đúng )

 

nên $u_{n}$  tăng và bị chặn trên nên  $u_{n}$ có giới hạn hữu hạn 

Câu (a)

Chứng minh được $u_{2}<u_{1}$

Giả sử $u_{n+1}<u_{n}$ đúng với $n=k$

Với $n=k+1$ thì $u_{k+1}-u_{k+2}=\dfrac{u_{k}-u_{k+1}}{2}+\dfrac{\sqrt{u_{k}^2+3}-\sqrt{u_{k+1}^2+3}}{4}>0$ theo giả thiết quy nạp.

Vậy $u_{n}$ là dãy giảm.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#14 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 09-01-2015 - 19:29

câu 1 ngày 2 dùng phuơng trình đặc trưng để tìm cttq của fn(x) rồi dùng số phức

Dùng số phức là sao bạn ? 


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#15 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 09-01-2015 - 19:30

bạn khanghaxuan giải sai câu b rồi , dãy này chưa xác định đc tăng hay giảm 
câu a thì không cần phức tạp như vậy

Mình đã xác định là dãy giảm ở trên rồi đó !


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#16 mixtilinear23

mixtilinear23

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 10-01-2015 - 00:30

Khi nào có đáp án chính thức vậy ạ?
 
@namcpnh: Đề VMO mấy năm nay Bộ không cung cấp đáp án chính thức.

Khi nào có đáp án chính thức vậy ạ?
 
@namcpnh: Đề VMO mấy năm nay Bộ không cung cấp đáp án chính thức.

vậy khoảng bao lâu thì có kết quả ạ?

#17 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 10-01-2015 - 09:33

 

NGÀY 2
Bài 5: (7,0 điểm) Cho $(f_n(x))$ là dãy đa thức xác định bởi:B
$f_0(x)=2,f_1(x)=3x,f_n(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x)$ với mọi $n\ge 2$. 
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $f_n(x)$ chia hết cho đa thức $x^3-x^2+x$.
 
Bài 6 (7 điểm). Với $a,n$ nguyên dương, xét phương trình $a^2x+6ay+36z=n$, trong đó $x,y,z$ là các số tự nhiên
a) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để với mọi $n\ge 250$, phương trình đã cho luôn có nghiệm $(x,y,z)$.
b) Biết rằng $a>1$ và nguyên tố cùng nhau với $6$. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ theo $a$ để phương trình đã cho không có nghiệm $(x,y,z)$.
 
Bài 7 (6 điểm) Cho $m$ học sinh nữ và $n$ học sinh nam $(m,n\ge 2)$ tham gia một Liên hoan Song ca. Tai Liên hoan song ca, mỗi buổi biểu diễn văn nghệ. Mỗi chương trình văn nghệ bao gồm một số bài song ca nam-nữ mà trong đó mỗi đôi nam-nữ chỉ hát với nhau không quá một bài và mỗi học sinh đều được hát ít nhất một bài. Hai chương trình được coi là khác nhau nếu có một cặp nam-nữ hát với nhau ở chương trình này nhưng không hát với nhau ở chương trình kia. Liên hoan Song cả chỉ kết thúc khi tất cả các chương trình khác nhau cỏ thế có đều được biểu diễn, mỗi chương trình được biểu diễn đúng một lần.
a) Một chương trình được gọi là lệ thuộc vào học sinh X nếu như hủy tất cả các bài song ca mà X tham gia thì có ít nhất một học sinh khác không được hát bài nào trong chương trình đó. Chứng minh rằng trong tất cả các chương trình lệ thuộc vào X thì số chương trình có số lẻ bài hát bằng số chương trình có số chẵn bài hát.
b) Chứng minh rằng Ban tổ chức Liên hoan có thể sắp xếp các buổi biểu diễn sao cho số các bài hát tại hai buổi biểu diễn liên tiếp bất kỳ không cùng tính chẵn lẻ.

 

Bài 1   :    $\left\{\begin{matrix} f_{0}(x)=2 , f_{1}(x)=3x & \\ f_{n}(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^{2})f_{n-2}(x) & \end{matrix}\right.$  

 

Áp dụng phương pháp sai phân bậc 2 ta tìm được công thức tổng quát :   

 

                                              $f_{n}(x)=(2x-1)^{n}+(x+1)^{n}$   
 

Khai triển rồi nhóm lại ta được :   

 

        $f_{n}(x)=x^{n}.(2^{n}+1)+...+(-1)^{n}+1^{n}$  (*)

 

 Để (*) chia hết cho  $x^{3}-x^{2}+x$  thì $n$ là một số lẻ và được viết dưới dạng sau :  

 

$x(x^{2}-x+1)(x^{n-3}.C_{1}+....+x.C_{n-3}+C_{n-2})$

 

Xét đa thức $g(x)=x^{n-1}(2^{n}+1 )+...+C^{n-1}_{n}$ 

                    

                     $h(x)=x^{3}.C_{1}+...+C_{n-2}$

 

Ta có :  Tổng các hệ số của đa thức $g(x)$ bằng tổng hệ số của đa thức $h(x)$ (  $h(x)$ là đa thức thương của $g(x)$ với $x^{2}-x+1$ 

 

Ta xác định được :   $C_{1}=2^{n}+1$ 

                                 $C_{n-2}=C^{n-1}_{n}$

 

Tới đây bước tính toán của em hơi khủng !!!!! 

 

$C_{3}=C^{2}_{n}(2^{n-2}-1)+C^{1}_{n}(2^{n-1}+1)$ 

$C_{4}=C^{3}_{n}(2^{n-3}-1)+C^{2}_{n}(2^{n-2}+1)-2^{n}-1$

 

Cứ tiếp tục như thế  (  Khúc sau khủng quá nên lười ghi )

 

Cuối cùng cân bằng hệ số giữa  $C_{n-2}$  trong khai triển trên với $C_{n-2}$ trong đa thức $g(x)$

 

Ta tìm được :  $n=3$ thỏa đề bài .  

 

P/s : Cái khúc tính toán để em xem lại nhé ! ( Dấu $+$ , $-$  loạn xạ ) 


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#18 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 10-01-2015 - 12:10

Mình đã xác định là dãy giảm ở trên rồi đó !

 

Bài 1   :    $\left\{\begin{matrix} f_{0}(x)=2 , f_{1}(x)=3x & \\ f_{n}(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^{2})f_{n-2}(x) & \end{matrix}\right.$  

 

Áp dụng phương pháp sai phân bậc 2 ta tìm được công thức tổng quát :   

 

                                              $f_{n}(x)=(2x-1)^{n}+(x+1)^{n}$   
 

Khai triển rồi nhóm lại ta được :   

 

        $f_{n}(x)=x^{n}.(2^{n}+1)+...+(-1)^{n}+1^{n}$  (*)

 

 Để (*) chia hết cho  $x^{3}-x^{2}+x$  thì $n$ là một số lẻ và được viết dưới dạng sau :  

 

$x(x^{2}-x+1)(x^{n-3}.C_{1}+....+x.C_{n-3}+C_{n-2})$

 

Xét đa thức $g(x)=x^{n-1}(2^{n}+1 )+...+C^{n-1}_{n}$ 

                    

                     $h(x)=x^{3}.C_{1}+...+C_{n-2}$

 

Ta có :  Tổng các hệ số của đa thức $g(x)$ bằng tổng hệ số của đa thức $h(x)$ (  $h(x)$ là đa thức thương của $g(x)$ với $x^{2}-x+1$ 

 

Ta xác định được :   $C_{1}=2^{n}+1$ 

                                 $C_{n-2}=C^{n-1}_{n}$

 

Tới đây bước tính toán của em hơi khủng !!!!! 

 

$C_{3}=C^{2}_{n}(2^{n-2}-1)+C^{1}_{n}(2^{n-1}+1)$ 

$C_{4}=C^{3}_{n}(2^{n-3}-1)+C^{2}_{n}(2^{n-2}+1)-2^{n}-1$

 

Cứ tiếp tục như thế  (  Khúc sau khủng quá nên lười ghi )

 

Cuối cùng cân bằng hệ số giữa  $C_{n-2}$  trong khai triển trên với $C_{n-2}$ trong đa thức $g(x)$

 

Ta tìm được :  $n=3$ thỏa đề bài .  

 

P/s : Cái khúc tính toán để em xem lại nhé ! ( Dấu $+$ , $-$  loạn xạ ) 

đáp án là n=6k+3 mà , dùng số phức là đơn giản nhất



#19 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 10-01-2015 - 12:17

đáp án là n=6k+3 mà , dùng số phức là đơn giản nhất

Bạn trình bày cách làm số phức của bạn ra đi ( Ý tưởng thôi cũng được nhưng phải cụ thể chứ bạn )


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#20 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 10-01-2015 - 12:18

đáp án là n=6k+3 mà , dùng số phức là đơn giản nhất

Chắc mình nhầm trong tính toán , để xem lại ! 


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -




4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh


    Google (1)