Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a$.
Bắt đầu bởi nghia_metal, 09-01-2015 - 05:14
#2
Đã gửi 09-01-2015 - 11:18
buiminhhieu
-
- Thành viên
-
- 1150 Bài viết
Thượng úy
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a$.
Giả sử $a=Max{a,b,c}$ Xét $b\geq c$
Áp dụng BĐT Hoán vị :$\left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} & \\ ab\geq ac\geq bc& \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow P\leq a^{3}b+ab^{2}c+ac^{3}=b(a^{3}+abc+c^{3})\leq b(a+c)^{3}=b(3-b)^{3}$
$=27.b.\frac{3-b}{3}.\frac{3-b}{3}.\frac{3-b}{3}\leq 27.(\frac{3}{4})^{4}=\frac{2187}{256}$
Dấu "=" khi $a=2,25;b=0,75;c=0$
Nếu$c\geq b$ ta chứng minh tương tự
- nghia_metal yêu thích
Chuyên Vĩnh Phúc
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
