Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 4 Bình chọn

$x-y+z=4 \\ \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{2}\\x^3-y^3+z^3=10$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 TDHAIT

TDHAIT

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết

Đã gửi 06-04-2006 - 15:48

Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{array}{l}x-y+z=4 \\\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{2}\\x^3-y^3+z^3=10\end{array}\right.$$

Giai HPT 
[TeX]\large \left\{\begin{array}{l}x-y+z=4 \\\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{2}\\x^3-y^3+z^3=10\end{array}\right.[/TeX]

Bạn có thể vào đây để học gõ công thức toán : http://diendantoanho...?showtopic=1235 pi.gifpi.gifimage004.gif


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-06-2013 - 08:33


#2 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 21-06-2013 - 11:47

Đặt theo thứ tự các phương trình là (1) (2) (3) nhé

$(1)\Leftrightarrow (x-y+z)^{3}=64\Leftrightarrow x^{3}-y^{3}+z^{3}+3(x-y)(z-y)(x+z)=64\Leftrightarrow 10+3(4-z)(4-x)(4+y)=64\Leftrightarrow 4(xy+yz-zx)-xyz=-18$

Mặt khác từ (2) ta còn có $2(xy+yz-zx)-5xyz=0$

Đặt $xy+yz-zx=a;xyz=b\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4a-b=-18 & & \\ 2a-5b=0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow (a;b)=(-5;-2)$

Cùng với (1) ta có hệ gồm 3 phương trình sau :

$x+(-y)=z=4$

$x.(-y)+(-y).z+xz=5$

$x.(-y).z=2$

Theo định lí Vi-ét đảo cho phương trình bậc 3 thì x, -y và z sẽ là nghiệm của phương trình :

$t^{3}-4t^{2}+5t-2=0\Leftrightarrow (t-2)(t-1)^{2}=0$

Do đó : $(x;-y;z)=(2;1;1);(1;2;1);(1;1;2)\Rightarrow (x;y;z)=(2;-1;1);(1;-2;1);(1;-1;2)$

Vậy : Nghiệm của hệ phương trình là $(2;-1;1);(1;-2;1);(1;-1;2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 21-06-2013 - 12:02

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3 trungtran

trungtran

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 21-06-2013 - 11:54

Đặt -y = t. HPT tương đương  $$\left\{\begin{array}{l}x+t+z=4 \\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{2}\\x^3+t^3+z^3=10\end{array}\right.$$

 

Từ $\frac{1}{x} + \frac{1}{t} + \frac{1}{z} = \frac{5}{2}$. Ta có $5xtz = 2(xt+tz+xz) \Leftrightarrow 30xtz=12(xt+tz+xz)$ (2)

Lại có: 

$x^3 + t^3 + z^3 - 3xtz = (x+t+z)(x^2+t^2+z^2-xt-tz-xz)$

$\Leftrightarrow 10 - 3xtz = 4[(x+t+z)^2 - 3(xy+tz+xz)]$

$\Leftrightarrow 10-3xtz = 4.4^2 - 12(xy+yz+xz)$

$\Leftrightarrow 27xtz = 54$ ( 12(xt+tz+xz) = 30xtz theo (2) )

$\Leftrightarrow xtz = 2 \Rightarrow xt+tz+xz = 5$

Ta coi x,t,z là 3 nghiệm của phương trình $A^3 + M_{1}A^2 + M_{2}A + M_{3} = 0$ (*)

Với $ -M_{1} = x+t+z = 4 \Rightarrow M_{1} = -4$

$M_{2} = xt+tz+zx = 5$

$-M_{3} = xtz = 2 \Rightarrow M_{3}=-2$

Phương trình (*) trở thành : $A^3 - 4A^2 + 5A - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (A-2)(A-1)^2=0$

Do đó: (x;t;z) = (2;1;1) và các hoán vị của chúng

Vậy (x;y;z) = (2;-1;1) ; (1;-1;2) ; (1;-2;1)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungtran: 21-06-2013 - 11:57

My shinee .  


#4 trungtran

trungtran

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 21-06-2013 - 11:58

Thử lại y=-2 vẫn thỏa mãn mà 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungtran: 21-06-2013 - 12:00

My shinee .  


#5 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-07-2013 - 21:55

Chấm bài:

Juliel: 10 điểm

trungtran: 5 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh