Đến nội dung

Hình ảnh

$x-y+z=4 \\ \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{2}\\x^3-y^3+z^3=10$

* * * * * 4 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
TDHAIT

TDHAIT

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết

Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{array}{l}x-y+z=4 \\\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{2}\\x^3-y^3+z^3=10\end{array}\right.$$

Giai HPT 
[TeX]\large \left\{\begin{array}{l}x-y+z=4 \\\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{2}\\x^3-y^3+z^3=10\end{array}\right.[/TeX]

Bạn có thể vào đây để học gõ công thức toán : http://diendantoanho...?showtopic=1235 pi.gifpi.gifimage004.gif


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-06-2013 - 08:33


#2
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Đặt theo thứ tự các phương trình là (1) (2) (3) nhé

$(1)\Leftrightarrow (x-y+z)^{3}=64\Leftrightarrow x^{3}-y^{3}+z^{3}+3(x-y)(z-y)(x+z)=64\Leftrightarrow 10+3(4-z)(4-x)(4+y)=64\Leftrightarrow 4(xy+yz-zx)-xyz=-18$

Mặt khác từ (2) ta còn có $2(xy+yz-zx)-5xyz=0$

Đặt $xy+yz-zx=a;xyz=b\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4a-b=-18 & & \\ 2a-5b=0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow (a;b)=(-5;-2)$

Cùng với (1) ta có hệ gồm 3 phương trình sau :

$x+(-y)=z=4$

$x.(-y)+(-y).z+xz=5$

$x.(-y).z=2$

Theo định lí Vi-ét đảo cho phương trình bậc 3 thì x, -y và z sẽ là nghiệm của phương trình :

$t^{3}-4t^{2}+5t-2=0\Leftrightarrow (t-2)(t-1)^{2}=0$

Do đó : $(x;-y;z)=(2;1;1);(1;2;1);(1;1;2)\Rightarrow (x;y;z)=(2;-1;1);(1;-2;1);(1;-1;2)$

Vậy : Nghiệm của hệ phương trình là $(2;-1;1);(1;-2;1);(1;-1;2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 21-06-2013 - 12:02

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3
trungtran

trungtran

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết

Đặt -y = t. HPT tương đương  $$\left\{\begin{array}{l}x+t+z=4 \\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{2}\\x^3+t^3+z^3=10\end{array}\right.$$

 

Từ $\frac{1}{x} + \frac{1}{t} + \frac{1}{z} = \frac{5}{2}$. Ta có $5xtz = 2(xt+tz+xz) \Leftrightarrow 30xtz=12(xt+tz+xz)$ (2)

Lại có: 

$x^3 + t^3 + z^3 - 3xtz = (x+t+z)(x^2+t^2+z^2-xt-tz-xz)$

$\Leftrightarrow 10 - 3xtz = 4[(x+t+z)^2 - 3(xy+tz+xz)]$

$\Leftrightarrow 10-3xtz = 4.4^2 - 12(xy+yz+xz)$

$\Leftrightarrow 27xtz = 54$ ( 12(xt+tz+xz) = 30xtz theo (2) )

$\Leftrightarrow xtz = 2 \Rightarrow xt+tz+xz = 5$

Ta coi x,t,z là 3 nghiệm của phương trình $A^3 + M_{1}A^2 + M_{2}A + M_{3} = 0$ (*)

Với $ -M_{1} = x+t+z = 4 \Rightarrow M_{1} = -4$

$M_{2} = xt+tz+zx = 5$

$-M_{3} = xtz = 2 \Rightarrow M_{3}=-2$

Phương trình (*) trở thành : $A^3 - 4A^2 + 5A - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (A-2)(A-1)^2=0$

Do đó: (x;t;z) = (2;1;1) và các hoán vị của chúng

Vậy (x;y;z) = (2;-1;1) ; (1;-1;2) ; (1;-2;1)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungtran: 21-06-2013 - 11:57

My shinee .  


#4
trungtran

trungtran

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết

Thử lại y=-2 vẫn thỏa mãn mà 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungtran: 21-06-2013 - 12:00

My shinee .  


#5
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết

Chấm bài:

Juliel: 10 điểm

trungtran: 5 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh