Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}\leqslant \frac{1}{\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 lymiu

lymiu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bắc Ninh
  • Sở thích:ăn kem, mèo con

Đã gửi 09-01-2015 - 21:48

 Cm bất đẳng thức sau : :wacko: :wacko: :wacko:

      $\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}\leqslant \frac{1}{\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}}$


                   (~~) Hãy để mỗi ngày của bạn thật sự có ý nhja (~~) 

                        :botay  **==  = :)  :luoi  :oto:  **==  :luoi:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 

                                                                                  https://www.facebook.com/ly.miu.589


#2 vipboycodon

vipboycodon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Phước
  • Sở thích:Chơi thể thao.... làm toán.

Đã gửi 10-01-2015 - 22:06

mình nhầm ạ!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vipboycodon: 10-01-2015 - 22:11


#3 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 327 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Toán K26 - Chuyên Thái Nguyên

Đã gửi 17-01-2015 - 20:57

 Cm bất đẳng thức sau : :wacko: :wacko: :wacko:

      $\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}\leqslant \frac{1}{\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}}$

 

Theo bất đẳng thức $Cauchy$ ta có:

$$(a+c)^2=\left(\dfrac{a}{\sqrt{a+b}}.\sqrt{a+b}+\dfrac{c}{\sqrt{c+d}}.\sqrt{c+d}\right)^2\leqslant \left(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{c^2}{c+d}\right)\left(a+b+c+d\right)$$

 

Từ đó ta suy ra \begin{equation} \label{eq:1} \tag{1} \dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{c^2}{c+d} \geqslant \dfrac{(a+c)^2}{a+b+c+d}\end{equation}

 

Biến đổi tương đương ta thu được

\begin{align} \eqref{eq:1} \ & \Leftrightarrow \dfrac{a^2+ab-ab}{a+b}+\dfrac{c^2+cd-cd}{c+d} \geqslant \dfrac{(a+c)^2+(a+c)(b+d)-(a+c)(b+d)}{a+b+c+d} \nonumber \\ & \Leftrightarrow \left(a-\dfrac{ab}{a+b}\right)+\left(c-\dfrac{cd}{c+d}\right) \geqslant (a+c)-\dfrac{(a+c)(b+d)}{a+b+c+d} \nonumber \\ & \Leftrightarrow \left(\dfrac{ab}{a+b}-a\right)+\left(\dfrac{cd}{c+d}-c\right)\leqslant \dfrac{(a+c)(b+d)}{(a+c)+(b+d)}-(a+c) \nonumber \\ &\Leftrightarrow \dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{cd}{c+d}\leqslant \dfrac{(a+c)(b+d)}{(a+c)+(b+d)} \nonumber \\ &\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{a+b}{ab}}+\dfrac{1}{\dfrac{c+d}{cd}}\leqslant \dfrac{1}{\dfrac{(a+c)+(b+d)}{(a+c)(b+d)}} \nonumber \\ \tag{$\blacksquare$} &\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}}\leqslant \dfrac{1}{\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+d}} \end{align}

 

Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$


$$\text{Vuong Lam Huy}$$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh