Cho $a,b,c\geq 0$,$a+b+c=1$.CMR $a+b+2c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 15-01-2015 - 23:40
Cho $a,b,c\geq 0$,$a+b+c=1$.CMR $a+b+2c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 15-01-2015 - 23:40
Cho a,b,c$\geq 0,a+b+c= 1.CMR a+b+2c \geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
Ta có $VP=4(c+b)(1-b)(1-c)$
Lại có $4(b+c)(1-b) \leq (c+1)^2$
$\Leftrightarrow VP\leq (c+1)^2(1-c)=(c+1)(1-c^2)$
Vì $1-c^2\leq 1$
Nên $VP \leq 1+c=a+b+2c$
$a+b+2c \geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=b=\frac{1}{2}&&\\ c=0&& \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 11-01-2015 - 17:37
Chung Anh
Cho a,b,c$\geq 0,a+b+c= 1.CMR a+b+2c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
Có thể làm theo cách sau
BĐT $\Leftrightarrow 1+c\geq 4(1-a-b-c+ab+bc+ca-abc)\Leftrightarrow 1+c\geq 4(c(1-c)+ab(1-c))\Leftrightarrow (4-4c)ab-4c^2+3c-1\leq 0$
Ta có $1-c=a+b\geq 0\Leftrightarrow c\leq 1$
Coi vế trái của BĐT cần C/m là hàm số bậc nhất
Ta cần C/m $f(ab)\leq 0$
Nếu $c=1$ thì $f(ab)=-2<0$
Xét $c\neq 1$. Khi đó $c<1$, tức là $f(ab)$ là hàm đồng biến
Theo BĐT AM-GM, ta có $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{(1-c)^2}{4}$
Do đó ta có $f(ab)\leq f\begin{pmatrix} \frac{(1-c)^2}{4} \end{pmatrix}\leq 0\Leftrightarrow -c^2(c+1)\leq 0$ (Đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow c=0;a=b=\frac{1}{2}$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Cho a,b,c$\geq 0,a+b+c= 1.CMR a+b+2c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
Áp dụng:$4xy\leqslant (x+y)^{2} (\forall x,y)$
$4(1-a)(1-b)(1-c)=4(b+c)(1-b)(1-c)\leqslant [(b+c)+(b-1)]^{2}(1-c)=(1+c)^{2}(1-c)=(1+c)(1-c^{2})\leqslant (1+c).1=1+c=a+b+2c$
#oimeoi #
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
Điều kiện giả sử của f(x) để nếu f là hàm cộng tính thì f(x) = axBắt đầu bởi Explorer, 15-02-2023 phương trình hàm, đại số, số thực và . |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thức ôn 10 chuyên (2)Bắt đầu bởi vuhieu258, 28-02-2014 bất đẳng thức, côsi |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh