Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $a+b+2c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$

côsi

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
duyanh782014

duyanh782014

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 347 Bài viết

Cho $a,b,c\geq 0$,$a+b+c=1$.CMR $a+b+2c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 15-01-2015 - 23:40


#2
Chung Anh

Chung Anh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 420 Bài viết

Cho a,b,c$\geq 0,a+b+c= 1.CMR a+b+2c \geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$

Ta có $VP=4(c+b)(1-b)(1-c)$

Lại có $4(b+c)(1-b) \leq (c+1)^2$

          $\Leftrightarrow VP\leq (c+1)^2(1-c)=(c+1)(1-c^2)$

Vì $1-c^2\leq 1$

Nên $VP \leq 1+c=a+b+2c$

     $a+b+2c \geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=b=\frac{1}{2}&&\\ c=0&& \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 11-01-2015 - 17:37

Chung Anh


#3
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Cho a,b,c$\geq 0,a+b+c= 1.CMR a+b+2c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$

Có thể làm theo cách sau

BĐT $\Leftrightarrow 1+c\geq 4(1-a-b-c+ab+bc+ca-abc)\Leftrightarrow 1+c\geq 4(c(1-c)+ab(1-c))\Leftrightarrow (4-4c)ab-4c^2+3c-1\leq 0$

Ta có $1-c=a+b\geq 0\Leftrightarrow c\leq 1$

Coi vế trái của BĐT cần C/m là hàm số bậc nhất

Ta cần C/m $f(ab)\leq 0$

Nếu $c=1$ thì $f(ab)=-2<0$

Xét $c\neq 1$. Khi đó $c<1$, tức là $f(ab)$ là hàm đồng biến

Theo BĐT AM-GM, ta có $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{(1-c)^2}{4}$

Do đó ta có $f(ab)\leq f\begin{pmatrix} \frac{(1-c)^2}{4} \end{pmatrix}\leq 0\Leftrightarrow -c^2(c+1)\leq 0$ (Đúng)

Vậy BĐT được chứng minh

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow c=0;a=b=\frac{1}{2}$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#4
lethutang7dltt

lethutang7dltt

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

Cho a,b,c$\geq 0,a+b+c= 1.CMR a+b+2c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$

Áp dụng:$4xy\leqslant (x+y)^{2} (\forall x,y)$
$4(1-a)(1-b)(1-c)=4(b+c)(1-b)(1-c)\leqslant [(b+c)+(b-1)]^{2}(1-c)=(1+c)^{2}(1-c)=(1+c)(1-c^{2})\leqslant (1+c).1=1+c=a+b+2c$


#oimeoi  :wub: #






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: côsi

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh