Chủ đề này có 2 trả lời

[duyanh782014]

Cho $a,b,c> 0$.CMR $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 15-01-2015 - 23:58

[Forgive Yourself]

Cho $a,b,c> 0.CMR \frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

Ta có:

 

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$

 

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

 

$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\geq \frac{ab+bc+ca}{abc}$ (Vì $a,b,c>0$)

 

$\Leftrightarrow \frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

[Nguyen Minh Hai]

Cho $a,b,c> 0.CMR \frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Theo Schwarz:
$\sum \frac{a}{bc} = \sum \frac{a^2}{abc} \geq \frac{(a+b+c)^2}{3abc}=\frac{\sum a^2 + \sum ab}{3abc} \geq \frac{3\sum ab}{3abc} = \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Xảy ra đẳng thức khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 10-01-2015 - 18:50