Đến nội dung

Hình ảnh

$b^{2}+4ac$ $b^{2}-4ac$ là số chính phương thì abc chia hết cho 30


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ngutoanso1

ngutoanso1

    Hạ sĩ

  • Banned
  • 96 Bài viết

chứng minh nếu các số nguyên a,b,c thỏa mãn  $b^{2}+4ac$ $b^{2}-4ac$ là số chính phương thì abc chia hết cho 30

 

 

 



#2
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

 

Vào lúc 11 Tháng 1 2015 - 11:06, ngutoanso1 đã nói:

 
chứng minh nếu các số nguyên a,b,c thỏa mãn  $b^{2}+4ac$ $b^{2}-4ac$ là số chính phương thì abc chia hết cho 30

 
 
 

Ta có :$b^2-4ac=x^2$ và $b^2+4ac=y^2$

$\bullet$ Nếu $b$ chia hết cho $2$ thì $abc$ chia hết cho $2$

$\bullet$ Nếu $b$ không chia hết cho $2$ thì $b=2k+1$ 

$\Rightarrow b^2=4k(k+1)+1\equiv 1$ (mod $8$)

Vì $b$ lẻ $\Rightarrow x$ lẻ $\Rightarrow x^2\equiv 1$ (mod $8$)

$\Rightarrow 4ac=b^2-x^2\equiv 0$ (mod $8$)

Suy ra $ac$ chia hết cho $2$ nên $abc$ cũng chia hết cho $2$

$\bullet$ Nếu $b$ chia hết cho $3$ thì $abc$ chia hết cho $3$

$\bullet$ Nếu $b$ không chia hết cho $3$ thì $b^2\equiv 1$ (mod $3$)

Nếu $ac\equiv 1$ (mod $3$) hoặc $ac\equiv 2$ (mod $3$) thì $x^2\equiv 2$ (mod $3$) , vô lý

Vậy $ac$ chia hết cho $3$ hay $abc$ chia hết cho $3$

$\bullet$Nếu $b$ chia hết cho $5$ thì $abc$ chia hết cho $5$

$\bullet$Nếu $b$ không chia hết cho $5$ thì $b^{2}\equiv \pm 1$ (mod $5$)

Nếu $ac$ không chia hết cho $5$ thì $4ac\equiv \pm 1,\pm 2$ (mod $5$)

Khi đó một trong hai số $x^2,y^2$ có dạng $5k\pm 2$ không phải là số chính phương

Vậy $ac$ chia hết cho $5$ hay $abc$ chia hết cho $5$

Suy ra ĐPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhamHungCxHT: 11-01-2015 - 14:29





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh