chứng minh nếu các số nguyên a,b,c thỏa mãn $b^{2}+4ac$ $b^{2}-4ac$ là số chính phương thì abc chia hết cho 30
chứng minh nếu các số nguyên a,b,c thỏa mãn $b^{2}+4ac$ $b^{2}-4ac$ là số chính phương thì abc chia hết cho 30
Vào lúc 11 Tháng 1 2015 - 11:06, ngutoanso1 đã nói:
chứng minh nếu các số nguyên a,b,c thỏa mãn $b^{2}+4ac$ $b^{2}-4ac$ là số chính phương thì abc chia hết cho 30
Ta có :$b^2-4ac=x^2$ và $b^2+4ac=y^2$
$\bullet$ Nếu $b$ chia hết cho $2$ thì $abc$ chia hết cho $2$
$\bullet$ Nếu $b$ không chia hết cho $2$ thì $b=2k+1$
$\Rightarrow b^2=4k(k+1)+1\equiv 1$ (mod $8$)
Vì $b$ lẻ $\Rightarrow x$ lẻ $\Rightarrow x^2\equiv 1$ (mod $8$)
$\Rightarrow 4ac=b^2-x^2\equiv 0$ (mod $8$)
Suy ra $ac$ chia hết cho $2$ nên $abc$ cũng chia hết cho $2$
$\bullet$ Nếu $b$ chia hết cho $3$ thì $abc$ chia hết cho $3$
$\bullet$ Nếu $b$ không chia hết cho $3$ thì $b^2\equiv 1$ (mod $3$)
Nếu $ac\equiv 1$ (mod $3$) hoặc $ac\equiv 2$ (mod $3$) thì $x^2\equiv 2$ (mod $3$) , vô lý
Vậy $ac$ chia hết cho $3$ hay $abc$ chia hết cho $3$
$\bullet$Nếu $b$ chia hết cho $5$ thì $abc$ chia hết cho $5$
$\bullet$Nếu $b$ không chia hết cho $5$ thì $b^{2}\equiv \pm 1$ (mod $5$)
Nếu $ac$ không chia hết cho $5$ thì $4ac\equiv \pm 1,\pm 2$ (mod $5$)
Khi đó một trong hai số $x^2,y^2$ có dạng $5k\pm 2$ không phải là số chính phương
Vậy $ac$ chia hết cho $5$ hay $abc$ chia hết cho $5$
Suy ra ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhamHungCxHT: 11-01-2015 - 14:29
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh