Chủ đề này có 3 trả lời

[mijumaru]

Giải các hệ phương trình sau:

$a) \left\{\begin{matrix} xy+x+y=3 \\ \frac{1}{x^{2}+2x}+\frac{1}{y^{2}+2y}=\frac{2}{3}& \end{matrix}\right.$

$b)\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{(y+1)^{2}}+\frac{y^{2}}{(x+1)^{2}}=\frac{1}{2} & \\ 3xy=x+y+1 & \end{matrix}\right.$

$c)\left\{\begin{matrix} x^{3}y+2y=3 & \\ y^{3}(3x-2)=1 & \end{matrix}\right.$

$d)\left\{\begin{matrix} x^{2}-2xy+x-2y+3=0 & \\ y^{2}-x^{2}+2xy+2x-2=0 & \end{matrix}\right.$

[vipboycodon]

c) Áp dụng bđt cô-si ta có:

$3 = y(x^3+2) = y(x^3+1+1) \ge 3xy \leftrightarrow 1 \ge xy$

$3xy^3 = 2y^3+1 = y^3+y^3+1 \ge 3y^2 \leftrightarrow  xy \ge 1$

Dấu "=" xảy ra khi $x = y = 1$

[mathbg]

c) Áp dụng bđt cô-si ta có:

$3 = y(x^3+2) = y(x^3+1+1) \ge 3xy \leftrightarrow 1 \ge xy$

$3xy^3 = 2y^3+1 = y^3+y^3+1 \ge 3y^2 \leftrightarrow  xy \ge 1$

Dấu "=" xảy ra khi $x = y = 1$

Đề có cho $x,y$ không âm đâu mà áp dụng AM - GM bạn ơi.

[Hoang Long Le]

 

Giải các hệ phương trình sau:

 

$b)\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{(y+1)^{2}}+\frac{y^{2}}{(x+1)^{2}}=\frac{1}{2} & \\ 3xy=x+y+1 & \end{matrix}\right.$

 

 

Áp dụng AM-GM: $\frac{x^{2}}{(y+1)^{2}}+\frac{y^{2}}{(x+1)^{2}}\geq \frac{2xy}{(x+1)(y+1)}\Leftrightarrow \frac{1}{4}\geq \frac{xy}{(x+1)(y+1)}$

mà $3xy=x+y+1\Leftrightarrow 4xy=(x+1)(y+1)\Leftrightarrow \frac{1}{4}=\frac{xy}{(x+1)(y+1)}$ nên $x=y=1$