Chủ đề này có 1 trả lời

[vanhanqct]

$\left( a+\frac{bc}{a} \right)\left( b+\frac{ac}{b} \right)\left( c+\frac{ab}{c} \right)\ge 4\sqrt[3]{({{a}^{3}}+{{b}^{3}})({{b}^{3}}+{{c}^{3}})({{a}^{3}}+{{c}^{3}})}$

[lahantaithe99]

$\left( a+\frac{bc}{a} \right)\left( b+\frac{ac}{b} \right)\left( c+\frac{ab}{c} \right)\ge 4\sqrt[3]{({{a}^{3}}+{{b}^{3}})({{b}^{3}}+{{c}^{3}})({{a}^{3}}+{{c}^{3}})}$

Bài này chú ý tách khéo léo một chút ta sẽ có:

$(a^2+bc)(b^2+ac)=c(a^3+b^3)+ab(c^2+ab)\geqslant 2\sqrt{abc(a^3+b^3)(c^2+ab)}$

Tương tự như thế nhân lại và rút gọn thu được

$[(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)]^3\geq 64(abc)^3(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)$

Suy ra $\left( a+\frac{bc}{a} \right)\left( b+\frac{ac}{b} \right)\left( c+\frac{ab}{c} \right)\ge 4\sqrt[3]{({{a}^{3}}+{{b}^{3}})({{b}^{3}}+{{c}^{3}})({{a}^{3}}+{{c}^{3}})}$

Dấu $=$ khi $a=b=c>0$